2.5. ПРОСТРАНСТВА СО СКАЛЯРНЫМ ПРОИЗВЕДЕНИЕМ

Последним шагом в усовершенствовании структуры пространства сигналов является введение дополнительной геометрической характеристики — скалярного произведения двух векторов. Мы рассмотрим здесь комплексные линейные пространства; действительные пространства являются их частными случаями. Скалярное произведение —

это отображение упорядоченных пар векторов линейного пространства в комплексную плоскость С. Это отображение обозначается и удовлетворяет следующим условиям:

Из (2.28а) и (2.286) видно, что — действительное число. Скалярное произведение называют иногда также внутренним произведением. Важным следствием из указанного определения скалярного произведения является то, что величина

есть норма в линейном пространстве. Действительно, легко видеть, что условия а) и в) в (2.24) удовлетворяются. Условие б), т. е. неравенство треугольника, требует доказательства. Сначала докажем очень важное соотношение, известное как неравенство Шварца:

Чтобы это доказать, применим свойство (2.28 в) к вектору , где а — любой скаляр.

В частности, положив из (2.31) получаем неравенство

из которого следует (2.30). Заметим, что (2.30) обращается в равенство, если для некоторого а. Теперь, используя равенство докажем неравенство треугольника:

Итак,

и определение (2.29) удовлетворяет условиям для нормы.

Таким образом, скалярное произведение порождает норму, которая в свою очередь согласно (2.25) порождает метрику. Следовательно, пространство со скалярным произведением становится метрическим пространством, если ввести указанную частную метрику. Пространство со скалярным произведением, если оно является также полным (как метрическое), называется гильбертовым пространством.

Иногда полезно трактовать скалярное произведение как некую меру угла между векторами. Поскольку неравенство Шварца можно переписать в виде

мы можем определить угол между векторами х и у соотношением

Но в теоретических исследованиях мы будем пользоваться только понятием ортогональности векторов. Два вектора х и у ортогональны тогда и только тогда, когда При попытке применить определение (2.35) к комплексным пространствам возникают некоторые трудности, связанные с тем, что 0 может быть равен когда . С другой стороны, если попытаться заменить в на мы не сможем получить углов во втором и третьем квадрантах.

Для рассмотренных ранее пространств, в которых задано скалярное произведение, оно выражается следующим образом:

Упражнение 2,8 Пусть х и у — векторы с единичной нормой в действительном постранстве со скалярным произведением. Показать, что векторы ортогональны. Сохранится ли ортогональность в комплексном пространстве? Какой угол между векторами будет согласно (2,35) в комплексном случае?

Упражнение 2.9. Для пространства со скалярным произведением выбрана норма доказать равенство параллелограмма:

Упражнение 2.10 Показать, что скалярное произведение в комплексном пространстве удовлетворяет поляризационному тождеству;

Упражнение 2.11, Пусть — банахово пространство, в котором норма удовлетворяет равенству параллелограмма. Определить скалярное произведение согласно поляризационному тождеству. Показать, что это действительно скалярное произведение, и, следовательно, — гильбертово пространство.

Упражнение 2.12. Привести пример нормированного линейного пространства, в котором норма не удовлетворяет равенству параллелограмма.

Пример 2.10. Сечение функции неопределенности вдоль оси времени. Важный пример применения скалярного произведения связан со свойствами сигналов ограниченной энергии. Если сигнал быстро изменяется во времени, можно ожидать, что сравнительно малые временное сдвиги должны приводить к значительным смещениям изображающей точки в подходящем пространстве сигналов, скажем в . С другой стороны, для медленно меняющихся сигналов

малые смещения во времени не приводят к существенным изменениям, и изображающая точка в пространстве сдвигается незначительно. Обозначим через сдвинутый на время сигнал Тогда имеем:

Энергия сигнала не зависит от сдвига во времени следовательно

где обозначено

Рис. 2.4. Два сигнала, имеющие почти одинаковую временную функцию неопределенности.

Таким образом, каждому сигналу х соответствует действительная функция от временного сдвига, которая характеризует смещение изображающей точки в пространстве сигналов, обусловленное таким сдвигом. Для быстро изменяющихся сигналов следует ожидать, что резко уменьшается с увеличением т. В случае короткого импульса очевидно, узкая, но, как ясно из рис. 2.4, и сигналу большой длительности может соответствовать узкая Во многих случаях, например в радиолокации, желательно использовать сигналы с узкой поскольку это позволяет измерить время прихода сигнала с высокой точность [5]. Соответственно, будем называть сечением, функции неопределенности вдоль оси времени. Малой неопределенности соответствует большое расстояние (2.39). По аналогии с подобной характеристикой случайных процессов функцию часто называют также

функцией автокорреляции сигнала Функция автокорреляции будет определена в гл. 7, а в гл. 8 даны некоторые соотношения между функциями автокорреляции случайных процессов и сечениями функции неопределенности вдоль оси времени. Для вещественных сигналов легко найти преобразование Фурье от (2.40):

Мы видим, что сигналы с одной и той же функцией автокорреляции имеют преобразования Фурье, которые могут отличаться произвольным фазовым множителем (см. упражнение 1,5),

Упражнение 2.13, Показать, что функция автокорреляции произвольного сигнала с ограниченной энергией есть непрерывная функция . Для действительных сигналов с ограниченной энергией показать, что

Упражнение 2.14. Определить и изобразить графически функции автокорреляции для следующих функций;

Указание: может оказаться полезным (2.41).

Представление элементов векторного пространства со скалярным произведением

Наиболее важное свойство пространства сигналов, в котором определено скалярное произведение, состоит в том, что имеется прямая связь между сигналом и его представлением. Предположим, что М — произвольное -мерное пространство, натянутое на базис тогда для имеем

Умножим скаляряо левую и правую части на

Мы получили систему линейных скалярных уравнений, и их решение относительно вектор-строки дает представление х в пространстве относительно базиса Для удобства введем новые базисные векторы попарно ортогональные к так что

где — символ Кронеккера, для для Теперь из (2.42) получаем

Базис, удовлетворяющий (2,44), называется взаимным базисом, и мы имеем

для любого и любой пары взаимных базисов для М,

Другой удобный способ состоит в использовании в качестве базиса в М ортонормальной системы. Система векторов называется ортонормальной, если взаимным базисом для нее является она сама, т. е. если векторы взаимно ортогональны, и норма их равна единице:

Тогда для любого имеем

Используя ортонормальный базис, мы не только получаем взаимнооднозначное соответствие между векторами в М и их представлением в но и равенство скалярных произведений в обоих пространствах. Для имеем

Представляют интерес способы построения ортонормальных базисов. Одним из них, наиболее предпочтительным с точки зрения вычислений, является способ ортогонализации Грома — Шмидта, удобный в силу своего итеративного характера. Если задана система

линейно независимых векторов в то система ортонормальных векторов получается путем нормализации векторов определяемых следующей схемой:

где

Заметим, что при перестановке векторов метод Грама — Шмидта приводит к различным ортонормальным системам.

Упражнение 2.15. Показать, что процедура Грама—Шмидта (2.50) приводит к получению ортонормальной системы.

Указание. Доказать по индукции, что если на шаге система — ортонормальна, то вектор ортогонален каждому из этих векторов. Кроме того, доказать соотношение

Упражнение 2,16, Переход от одного базиса к другому.

Пусть вектор имеет представление а относительно базиса Пусть — другой базис в М и пусть вектор х имеет в ней представление т. е.

Показать, что строка получается из строки умножением на матрицу перехода Г:

где элементы квадратной матрицы Г порядка — взаимный базис для

Упражнение 2.17. Найти представление вектора в базисе где