2.2. СХОДИМОСТЬ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ

В задачах анализа мы часто имеем дело с бесконечными последовательностями элементов выбранными из некоторого множества Понятие расстояния в метрическом пространстве позволяет анализировать важное свойство последовательностей, называемое сходимостью.

Мы говорим» что последовательность сходится, если существует такое что для любого имеется целое положительное , такое, что

Это часто записывают так:

Интуитивно ясно, что соседние точки в сходящейся последовательности в конце концов становятся все ближе и ближе друг к другу с увеличением Любая последовательность, обладающая этим свойством, называется последовательностью Коши. Точнее, если для любого существует положительное целое такое, что то последовательность называется последовательностью Коши. Из неравенства треугольника

следует, что сходящаяся последовательность является последовательностью Коши. С другой стороны, последовательность Коши может не быть сходящейся просто потому, что элемент х, к которому в пределе стремится последовательность, может не принадлежать множеству Пример последовательности, имеющей предел, лежащий за пределами множества, приведен ниже. Некоторые метрические пространства обладают удобным свойством, состоящим в том, что в них все последовательности Коши являются сходящимися. Такие метрические пространства называются полными.

Пример 2.6. Пусть — множество непрерывных действительных функций времени, определенных на интервале и пусть на этом множестве определена метрика вида (2.5 б). Можно показать путем построения несходящейся последовательности Коши (рис. 2.3), что такое метрическое пространство — не полное.

Положив имеем согласно рис. 2,3

Следовательно, последовательность функции есть последовательность Коши, но в пределе она стремится к разрывной функций Этот противоречащий пример показывает, что пространство — не полное.

Рис. 2.3. Последовательность Коши непрерывных функций.

Если на множестве определена метрика (2.5 в), то последовательность функций, показанная на рис. 2.3, не является последовательностью Коши, так как

Следовательно, эта последовательность не может служить опровергающим примером, доказывающим, что пространство — не полное. Мы можем убедиться, что пространство полное, путем следующих рассуждений. Пусть — некоторая последовательность Коши; тогда для любого имеем

для достаточно больших . Но это означает, что для любого . Следовательно, — это последовательность Коши в для любого и она сходится к пределу, который мы назовем Мы можем сказать, что для достаточно большого Теперь нужно показать, что х есть непрерывная лкция т. е. что для любого и любого можно найти такое что

Поскольку непрерывная функция, можно найти такое для которого тогда

Отсюда следует, что — непрерывная функция для любой — полное метрическое пространство.

Одно из важных следствий введения метрических пространств состоит в том, что понятие непрерывности, обсуждавшееся выше, может быть обобщено применительно к произвольному отображение одного метрического пространства в другое. Пусть Мы говорим, что отображение непрерывно в окрестности х, если для любого существует такое, что

где Если непрерывно во всех точках обласп определения, тогда говорят, что отображение непрерывно.

Пример 2.7. Для иллюстрации этого более общего понятия непрерывности рассмотрим отображение пространства действительны функций времени в т. е. функционал. Для пространства функци времени используем метрику из (2.5), а для R — обычную метрик! (2.2). Отображение задается следующим образом:

Для любого 0 имеем

Применяя неравенство Шварца (см. § 2.5) к (2.12), получаем

Следовательно, если — функция с интегрируемым квадратом, т. е.

где К — действительно и положительно, то

при

Таким образом, есть непрерывный функционал.

Упражнение 2.4. Для иллюстрации того факта, что непрерывность находится в прямой зависимости от вида метрического пространства, показать, что любое отображение пространства с метрикой примера 2.5 в любое другое метрическое пространство — непрерывно.

1 Метрические пространства обладают двумя дополнительными свойствами, полезными при анализе — сепарабельностью и компактностью. Грубо говоря, эти свойства дают более глубокое понимание сложности метрического пространства, содержащего бесконечное число элементов. Метрическое пространство сепарабельно, если для любого можно найти счетную последовательность элементов множества таких, что для некоторого и любого Метрическое пространство компактно, если можно найти конечную последовательность элементов таких, что для некоторого и любого Мы можем представлять себе компактное пространство «покрытым» конечным множеством «сфер» радиуса е. Сепарабельное пространство у «больше» компактного, однако оно может быть покрыто счетным множеством сфер.