8.3. ПРОЦЕССЫ С ЦИКЛИЧЕСКОЙ СТАЦИОНАРНОСТЬЮ

К счастью, многие случайные процессы, встречающиеся в физических системах, могут рассматриваться как стационарные, С другой стороны, часто встречаются процессы, которые были бы стационарными, если бы они не подвергались некоторому повторяющемуся воздействию. Эти периодические возмущения обычно делаются умышленно, например для калибровки времени при наблюдении сигналов При таких возмущающих воздействиях образуется определенный тип нестационарного процесса. Рассмотрим, например, выходной сигнал приемника, подключенного к локационной антенне, имеющей узкую диаграмму направленности и сканирующей по углу. Если интенсивность отражений изменяется с углом визирования, то статистические характеристики выходного сигнала приемника будут изменяться периодически с каждым оборотом антенны. Подобно этому» телевизионный сигнал, получаемый при прямоугольной развертке кадра со случайным распределением яркости, будет обладать периодически изменяющимися статистическими параметрами. Все виды развертки (за редким исключением тех, которые сами управляются случайными процессами) вносят некоторую периодичность в сигнальный процесс. Учитывая распространенность подобных возмущений в системах обработки сигналов, необходимо более полно изучить их статистические свойства.

Операция дискретизации

Часто бывает невыгодно наблюдать сигнал непрерывно. Чтобы преодолеть это затруднение, проще всего периодически отсчитывать значения сигнала и запоминать величину предыдущего отсчета до следующего отсчетного момента. Такая операция может быть представлена символически схемой дискретизации, показанной на рис. 8.1.

Будем предполагать, что моменты отсчета есть и выходной процесс х связан с дискретизируемым процессом у соотношением

где

Рис. 8.1. Схема дискретизации (а); типичная реализация (б).

Предположим также, что у — стационарный в широком смысле процесс, тогда

Обозначив имеем

Сумма по А в (8.16) имеет период Можно представить автокорреляционную функцию через вспомогательную периодическую функцию показанную на рис. 8.2. Для

где

Заметим, что обращается в нуль при . Процесс х, очевидно, не стационарный, но он принадлежит к процессам, обладающим периодичностью в том смысле, что для любых

Рис. 8.2. Вспомогательная периодическая функция» входящая в выражение для автокорреляционной функции процесса на выходе схемы дискретизации.

Процессы, удовлетворяющие условиям (8.18), называются процессами с циклической стационарностью (в широком смысле). Их называют также периодически стационарными или циклостационарными.

Рандомизация фазы

Для рассматриваемых процессов с частным видом нестаци он арности можно попытаться выявить пути исследования, подобные стационарным процессам, и использовать преимущества таких, например, понятий, как спектральная плотность мощности. Один из способов, которым это можно сделать, есть простое усреднение автокорреляционной функции (8.17) за период Т. Пусть

где

Такой способ устранения временной зависимости путем усреднения автокорреляционной функции за период не столь произволен, как это может показаться на первый взгляд. Но мы дадим другую

интерпретацию, физически более приемлемую. Мы превратим процесс х в стационарный добавлением новой случайной величины такой, что

Таким образом, моменты отсчета на рис. 8.1 изменяются на Физическая интерпретация этого в том, что наблюдатель, хотя он и знает, что наблюдаемый процесс образован путем периодических отсчетов некоторого исходного процесса, может и не иметь какой-либо «привязки» моментов отсчета к исходному процессу. Если предположить, что равномерна распределена в интервале то получается

причем

Итак, из-за случайного (рандомизированного) времени отсчетов (все моменты - отсчетов расставлены равномерно), процесс х становится стационарным в широком смысле, причем автокорреляционная функция совпадает с полученной усреднением по времени [ср. (8.19)]. В некоторых задачах подобная случайность фазы дискретизации ясна априори, и мы заведомо имеем дело со стационарным процессом. В других случаях, важно сохранить исходную модель процесса с циклической стационарностью. Далее мы обсудим это более подробно.

Для стационарного случая имеет место простая связь спектральных плотностей на входе и на выходе (см. рис. 8.1). Беря преобразование Фурье от (8.22), находим

Теперь, используя формулу суммирования Пуассона (6.125) из (8.23), получаем

где

Таким образом, спектральная плотность процесса х есть периодическая функция, полученная суммированием сдвинутых по частоте спектральных плотностей процесса у, умноженная на огибающую

Рис. 8.3, Спектральная плотность мощности процесса, полученного в результате дискретизации.

Это показано на рис. 8.3. Если Т выбрано достаточно малым, так что процесс у мало изменяется за то полоса частот, соответствующая мала по отношению к . В этом случае

т. е. спектральные плотности обоих процессов примерно одинаковы.

Упражнение 8,1, Показать, что случайный процесс стационарен в широком смысле в том и только в том случае, если вещественные случайные величины имеют нулевые средние, одинаковые дисперсии и они ортогональны.

Показать, что при статистически независимых с и процесс стационарен в широком смысле, если плотность распределения величины постоянна в интервале Существуют ли другие плотности распределения для , при которых х стационарен в широком смысле? Упражнение 8.2. Показать, что средний квадрат ошибки получающейся при операции дискретизации, есть периодическая функция Показать, что среднее по времени этого среднего квадрата ошибки есть

Привести пример стационарного процесса у, для которого средний квадрат ошнбкк равен нулю.

Синхронизированные импульсы с амплитудной модуляцией

Важное обобщение процесса дискретизации получается заменой прямоугольных импульсов импульсом произвольной формы. Мы предполагаем, как и прежде, что амплитуды импульсов задаются реализациями дискретного процесса (нет необходимости получать амплитуды как отсчеты непрерывного процесса). Говорят, что образованный таким образом сигнал

несет информацию в амплитудах наложенную с помощью плитудной импульсной модуляции

Можно сказать, что такая модуляция является синхронной в том смысле, что интервалы между импульсами одинаковы.

Предыдущий вывод формул для среднего значения и для автокорреляционной функций охватывает этот случай, если предположить, что последовательность стационарна в широком смысле, т. е. если для всех k

Тогда из (8.15) и (8.16) имеем

Последняя сумма в (8.27) есть периодическая функция (с периодом T). Поэтому АИМ сигнал является циклостационарным процессом. Свойство циклостационарности можно пояснить (но не доказать) также более очевидным образом, притом в более общем случае. Пусть есть очень короткий прямоугольный импульс (по сравнению с Т), как показано на рис. 8.4, Тогда, очевидно, средний квадрат процесса существенно изменяется в течение периода.

С другой стороны, можно выбрать такую форму импульса, что процесс будет стационарным в широком смысле. Чтобы показать это, предположим, есть импульс с конечной полосой, заданный выражением

так что

Используя несколько измененную формулу суммирования Пуассона (6.125), согласно которой для любого

легко показать, что периодические члены в (8.27) имеют вид

Рис. 8.4. АИМ сигнал, использующий короткие прямоугольные импульсы: типичная реализация (а); средний квадрат процесса (б).

Таким образом, для этой частной формы импульса АИМ сигнал стационарен в широком смысле, причем среднее значение и автокорреляционная функция определяются выражениями

Теорема отсчетов

Важным приложением этих результатов является теорема отсчетов для случайного процесса с ограниченной полосой, которая является непосредственным обобщением теоремы (6.128) для детерминированного сигнала с ограниченной полосой. Пусть имеется последовательность равномерно распределенных отсчетов стационарного ограниченного по полосе случайного процесса (в том смысле, что для ). Мы имеем

Из (8.30) с учетом (8.28) получаем для любого

Близость x и у характеризуется величиной

Кросс-корреляциониый член в (8.32) можно вычислить, используя (8.29) с учетом ограниченности по полосе Это дает

Выше учтено, что только один член суммы отличен от нуля. Подставляя (8.31) и (8.33) в (8.32), окончательно находим

Таким образом, мы имеем право сказать, что ограниченный по полосе процесс может быть представлен своими отсчетными значениями;

Это представление точно в том смысле, что средний квадрат ошибки равен нулю.

Спектральная плотность мощности АИМ сигнала

Возвращаясь теперь к случаю произвольной формы импульсов, следует рассмотреть циклостационарный процесс, трактуя его как стационарный со случайной фазой, или, как было сделано выше, определить постоянную составляющую и корреляционную функцию усреднением за период. Следовательно, если мы определим процесс в виде

где распределена равномерно в интервале , то

Соответственно в частотной области

причем последняя сумма периодична по имеет период . В рассматриваемом более общем случае не обращается в нуль в точках, кратных как это имело место для прямоугольного импульса в (8.24). Это может приводить к росту отдельных гармонических составляющих, появлению дискретных компонент спектральной плотности процесса. Например, пусть статистически независимы, тогда при Поэтому, вводя дисперсию можем записать

где сумма периодична по и имеет период

-функции в (8.41) представляют собой мощность, сконцентрированную в точках, кратных Мощность на этих частотах зависит как от среднего значения последовательности так и от формы импульса.

Эти результаты имеют практическое значение для тех случаев, когда при приеме информации дискретные компоненты спектра не используются и приводят лишь к энергетическим потерям. Проектируя систему, часто можно варьировать как последовательность сообщений, так и форму импульса, чтобы управлять относительным уровнем дискретных компонент. Впрочем, наличие дискретных компонент на некоторых частотах не всегда нежелательно. Выделив эти компоненты, можно использовать их, например, для масштабирования времени на приемном конце [2, 43, что избавляет от дополнительного канала синхронизации, Периодическая структура последовательности получается, например, при периодической вставке синхронизирующих импульсов в АИМ сигнал. В подобных случаях тоже могут возрасти дискретные компоненты спектральной плотности.

Упражнение 8,3. Последовательность вещественных чисел может быть отображена на пространство временных функций с помощью оператора широтно-импульсной модуляции. Пусть представляет собой последовательность статистически независимых случайных величин, каждая из которых равномерно распределена в интервале и пусть случайный процесс х имеет вид

Показать, что процесс циклостационареи, затем с помощью рандомизации фазы получить процесс, стационарный в широком смысле. Вычислить среднее значение и автокорреляционную функцию, выделив члены соответствующие непрерывной и дискретной частям спектральной плотности.

Упражнение 8.4. Рассмотрим двоичную систему передачи, в которой сигнал соответствует «нулю», — «единице». Предположим, что последовательность двоичных символов статистически независима и что «единица» появляется вероятностью Предположив также, что сигналы излучаются синхронно (каждые Т сек), применить рандомизацию фазы для получения стационарного в широком смысле процесса. Вычислить автокорреляционную функцию и спектральную плотность процесса, отделив дискретные компоненты, если они имеются. Как такая модель может использоваться для представления спектральной плотности при двоичной фазовой и частотной манипуляции? Наметить путь обобщения, переходя от двоичного алфавита к алфавиту с большим числом символов.

Указание. Представить х в виде

где случайные величины могут принимать только значения 0 и 1.