4.3. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ, ГИЛЬБЕРТА И ДРУГИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

Преобразование Фурье

Для базисные ядра

порождают пару преобразований Фурье. Из интегральной теоремы Фурье [2] следует, что, для обобщенной функции имеет место следующее предельное соотношение

Из (4.12) ясно, что функции (4.11) удовлетворяют требованиям (4.7 а и б), предъявляемым к сопряженным базисным ядрам. Параметр характеризует частоту каждой базисной функции и обычно обозначается Применяя употребительные обозначения, запишем пару преобразований Фурье в виде

Здесь учтено, что для преобразования Фурье обычно применяют заглавную букву, соответствующую той, которой обозначена функция времени.

Сопоставляя (4.11) с (4.9), мы видим, что базис самосопряженный, и, следовательно, согласно (4.10).

Это соотношение, широко используемое в дальнейших главах, известно как равенство Парсеваля. Оно очень часто применяется для установления частотно-временной двойственности, дуальности.

Упражнение 4,2. Используя равенство Парсеваля, проверить следующие утверждения [для ]:

Записать дуальные соотношения для этих утверждений.

Упражнение 4,3. Показать, что

Указания: разложить в ряд Фурье периодический множитель

Каково дуальное соотношение? Приведенное соотношение (и дуальное ему) чрезвычайно полезно в задачах анализа последовательностей импульсных сигналов. Используя полученное соотношение, установить следующие свойства бесконечных последовательностей -функций:

Упражнение 4.4. Используя соотношение из упражнения 4.3, проверить следующие формы формулы суммирования Пуассона.

Базисные ядра, зависящие от разности аргументов

Развивая упомянутое в § 4.1 предположение о представлении с помощью сдвинутых во времени функций, мы можем образовать базисное ядро из одной функции путем всевозможных ее сдвигов во времени. Итак, применяя несколько нестрогую запись, положим

так что ядро есть в действительности функция одной переменной — разности Если то есть свертка плотности ее распределения и базисной функции

Сопряженное ядро, если оно существует, можно просто найти, взяв преобразование Фурье от (4.16). В силу теоремы свертки

следовательно,

где

и сопряженное ядро также зависит от разности аргументов

Например, пусть

тогда

и

Мы получили тривиальный результат, что функция времени может быть представлена ею самой. Однако рассмотрение сигнала в виде плотной последовательности -функций часто оказывается полезным. Оно иногда используется, например, для пояснения физического смысла интеграла свертки, описывающего реакцию линейной системы. Значительно более интересен случай, когда выбрано ядро

Тогда с учетом обозначения получаем

Соответствующая пара преобразований называется парой преобразований Гильберта. Принято обозначать преобразование Гильберта от х через х. Применяя такое обозначение, имеем:

Поскольку подынтегральные функции в (4.24а) и (4.246) имеют особую точку, необходимо уточнить понятие интеграла. В обоих случаях интеграл понимается в смысле главного значения по Коши, т. е. в (4.24 б),

Сравнивая (4.22) и (4.23) с (4.9), мы видим, что базис самосопряженный, так что

Интересное и полезное свойство преобразования Гильберта состоит в том, что преобразования Фурье от парь преобразований Гильберта просто связаны друг с другом:

В теории сигналов эта связь чаще всего используется для образования комплексного аналитического сигнала имеющего одностороннее преобразование Фурье, Положим

Тогда в соответствии с (4.26 а)

Практическое применение этого свойства мы обсудим в § 4.4.

Пример 4.1. Предположим, мы хотим представить функции времени относительно смещенных по времени двусторонних экспоненциальных функций, т. е.

Поскольку

мы получаем

Следовательно, для рассматриваемого базиса пара преобразований имеет вид

Для случая характерные пары преобразований показаны на рис. 4.1.

Упражнение 4,5. Используя (4.26), показать, что:

а) преобразование Гильберта от преобразования Гильберта есть исходная функция со знаком минус, т. е.

б) вещественный сигнал и его преобразование Гильберта ортогональны, т. е.

Упражнение Вычислить преобразования Гильберта от функций:

Рис. 4.1. Пары преобразований для базисного ядра

Базисные ядра, зависящие от произведения аргументов

Другой способ построения базиса из одной функции состоит в непрерывном изменении ее ширины. Если

то параметр есть величина, обратная ширине базисной функции. Ясно, что ядро Фурье относится к этому типу. Вообще, самосопряженные ядра, являющиеся функциями одной переменной называются ядрами Фурье [2]. Известный пример этого типа дает пара преобразований Ханкеля:

где — функция Бесселя порядка

Если то в общем случае пара преобразований имеет вид

Интересно, что сопряженное ядро, если оно существует, может быть найдено аналогично тому, как это Делалось для ядер, зависящих от разности. Соотношение, подобно (4.18), для ядер, зависящих от произведения, выражается через преобразование Меллина [2]:

Взяв преобразование Меллина от (4.31а), получим

Аналогично, проделав преобразование Меллина над (4.316), найдем

Из (4.33) и (4.34) следует тождество

в силу которого

Пример 4.2. Пусть мы хотим представить сигнал на интервале распределением прямоугольных импульсов различной ширины. Тогда, полагая

имеем

Следовательно,

Последнее следует из того что

Рис. 4.2. Пары преобразований для базисного ядра: при в остальное время,

В результате получаем выражение для плотности прямоугольных импульсов

Положив здесь окончательно найдем

На рис. 4.2 показаны некоторые пары преобразований, полученные для этого примера.