6.5. ВАРИАЦИОННАЯ ЗАДАЧА ПРИ НАЛИЧИИ ОГРАНИЧЕНИЙ

Пусть мы хотим максимизировать (минимизировать) функционал при условии Естественный подход к задаче состоит в следующем. Сначала находим ограниченную дополнительными условиями область допустимых функций

Удобно трактовать подмножество как поверхность или линию неограниченном пространстве. Заметим, что в общем случае — нелинейное подпространство. Теперь задача в том, чтобы найти в точки, в которых V принимает экстремальные значения. Необходимое условие состоит в что должен быть стационарен в этих точках при вариациях х, принадлежащих Такие вариации описываются следующим образом: Стационарные точки образуют подмножество такое, что

Хотя с принципиальной точки зрения множество легко определяется, решение задачи в подмножестве 50, учитывающем все ограничения, часто представляет большую трудность.

Рис. 6.1. Касание поверхностей уровня в стационарной точке.

Другой подход к задаче состоит в том» что мы рассматриваем как один из элементов семейства поверхностей равных уровней для функционала

Аналогично будем рассматривать поверхности равных уровней для функционала Искомое решение есть точка пересечения с экстремальной поверхностью для Л В этой точке обе поверхности касаются, как показано для двумерного случая на рис. 6.1. В общем случае, в точке касания производные по направлению от пропорциональны, т. е.

где X — константа, а — точка касания. Пусть — подмножество точек, в которых выполняется (6.44) при некотором значении X:

Множество решений есть пересечение . Практически сначала находят решение (6.44) для произвольного X, а затем определяют удовлетворяющее ограничению

Наиболее существенный вывод, который можно сделать из анализа (6.44), состоит в том, что необходимые условия получаются так же, как для нового функционала без дополнительных ограничений. Константа X называется множителем Лагранжа.

Если мы имеем дело с вещественными функционалами, для которых производная по направлению задается с помощью вектора градиента, то условие касания получает простую геометрическую интерпретацию.

Поскольку для любого Направления касательного к поверхности в точке х, то это вектор нормали к этой поверхности. Если две поверхности и должны касаться в точке х, их градиенты в этой точке должны быть коллинеарными векторами.

Следовательно, (6.44) принимает вид

Чтобы проиллюстрироватьсказанное на простом двумерном примере, рассмотрим задачу минимизации функционала при ограничении , где

Рис. 6.2. Минимизация квадратичного функционала при ограничении, заданном линейным функционалом.

Условие (6.46), налагаемое на градиент, принимает вид и его решение

Пересечение этого множества т. е. с поверхностью находится в точке показанной на рис. 6.2.

Другим, вероятно более знакомым примером, является задача нахождения х, соответствующего экстремуму квадратичного функционала при условии, что функциональный аргумент х имеет единичную норму Если — самосопряженный оператор, необходимое условие (6.46) превращается в уравнение для собственных значений оператора А.

Таким образом, стационарными точками являются собственные функции , и соответствующие собственные значения вещественны,

поскольку — самосопряженный оператор. Пусть есть соответственно наибольшее и наименьшее собственное значение, тогда

Рассмотренный метод применим также к задачам оптимизации, где имеется несколько ограничений, выраженных в виде линейных или квадратичных функционалов; при этом ищутся стационарные точки для линейной комбинации всех функционалов. Поэтому функционал вида (6.39) описывает и задачу с ограничениями, причем некоторые из а и следует трактовать как рассмотренные выше множители Лагранжа.

До сих пор ничего не говорилось о достаточных условиях, которым должны удовлетворять стационарные точки, чтобы они были решениями задачи оптимизации. Обычно достаточность для одной из ста ционарных точек бывает ясна из физических соображений, приведших к постановке такой задачи. Но после того, выполнены необходимые условия, остается задача определения параметров (множителей Лагранжа), при которых одновременно оптимизируется функционал и удовлетворяются ограничения. Следовательно, остается нерешенной вторая часть задачи с ограничениями, правда значительно меньшей размерности. К сожалению, уравнения для этих неопределенных параметров не всегда получаются линейными, и часто приходится использовать численные методы, чтобы завершить решение. Прежде чем заниматься общим анализом этой проблемы, мы покажем, как поступают в некоторых частных случаях и рассмотрим несколько примеров, взятых из практических задач синтеза сигналов.