РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

(см. скан)

Для примера укажем, что две функции времени принадлежит одному в то же множеству эквивалентности, если у них совпадают первые членов разложения в ряд Фурье.

К упр. 1.10. Для мы имеем для и можно представить рядом Фурье на интервале

где

Поскольку равна нулю при можно также записать

Поэтому, делая замену получаем

Обратное преобразование Фурье дает далее

Выполнив интегрирование, приходим к (1.34).

К упр. 1,11. Заметим, что — периодическая функция с периодом Разложим эту функцию в ряд Фурье:

где

Положим и проинтегрируем почленно, тогда

Таким образом, мы можем записать

Поэтому, если — при то

В частности, при для

Мы получили критерий Найквиста для интерполирующих импульсов.

К упр. 2.1. Пусть — псевдометрика, покажем, что имеет место отношение эквивалентности, определяемое соотношением . Действительно, условия (1.12) удовлетворяются:

а) , следовательно,

б) следовательно, ;

в) следовательно, если

Теперь рассмотрим множество (пространство) содержащее все образованные таким образом множества эквивалентности. Мы можем определить метрику на множестве следующим образом:

Вначале мы должны показать, что определено однозначно. Пусть х — произвольная точка в и у — произвольная точка в тогда

С другой стороны,

Отсюда мы заключаем, что Итак, метрика однозначна.

Теперь покажем, что является метрикой:

Рассмотрим в качестве примера

как в уравнении (2.5); здесь есть псевдометрика, так как имеются разные функции времени, для которых (см. рис. К10). Рассматривая же метрику, мы в действительности говорим, что элементами метрического пространства являются не отдельные функции, а, скорее множества функций, эквивалентных почти всюду. Мы впредь будем трактовать эти множества эквивалентности как элементы функционального пространства. Это необходимо, например, для того, чтобы можно было говорить об «обратном преобразовании Фурье».

К упр. 2.2, Чтобы показать, что есть псевдометрика, проверим условия, приведенные в упражнении 2.1:

a) по определению модуля действительных чисел, и поскольку функционал есть однозначное

(см. скан)

Теперь предположим, что значение с выбрано достаточно большим, таким, что для некоторого в О имеет место

а значение 6 выберем достаточно малым, таким, что

Тогда для имеем

Здесь учтено, что последний интеграл равен единице, поскольку Таким образом, мы показали, что — непрерывная функция.

Для вещественных сигналов можно показать, что — четная функция, так как

Здесь сделана замена переменной . Снова, применяя неравенство Шварца, получаем

таким образом,

К упр. 2.15. Процедура Грама—Шмидта. Воспользуемся схемой (2,50), предположив, что множество ортонормальных векторов уже получено. Покажем, что при этом следующий вектор получаемый по этой схеме, ортонормален ко всем предыдущим (доказательство по индукции)

Но мы приняли, что для следовательно,

Таким образом, при мы получаем желаемый результат:

При подсчете нормирующих коэффициентов в процедуре Грама—Шмидта полезно следующее соотношение:

Поскольку три последних члена совпадают (без учета знаков) и мы имеем

Чтобы сформировать скалярных уравнений, возьмем скалярное произведение обеих частей этого равенства на

Но, так как получаем

Это может быть записано в матричной форме где матрица Г имеет в строке и столбце член

К упр. 3.1, Предположим, что

Тогда при (почти всюду) и, поскольку линейно независимы, мы имеем для всех Следовательно, представление (3,1) единственно.

К упр. 3.2. Покажем, что разложение где единственно тогда и только тогда, когда

а) Пусть и предположим, что

Тогда а поскольку — единственный общий вектор для М и то т. е. разложение единственно.

б) С другой стороны, предположим, что существует такой , для которого справедливо Тогда можно записать или и разложение не единственно.

Итак, в а) и б) мы доказали, что

- единственно

Поскольку — базис для

— базис для М и

базис для а также линейно-независимая система, мы можем утверждать, что в единственным образом записать

Заметим, однако, что

не всегда равно нулю при Поэтому нельзя утверждать, что при следовательно, не обязатель но является взаимным базисом в М, Если — ортонормальная система, то она самосопряженная, и есть взаимный базис для М.

Это один из важнейших доводов в пользу применения в качестве базиса для ортонормальных систем.

К упр. 3.5. Поскольку полная ортонормальная система, мы можем записать:

Тогда

Таким образом, доказано равенство Парсеваля.

К упр. 3.6. Учитывая указание и условие имеем

Поскольку и — взаимные базисы, из (3.12) мы имеем

но, так как — ортонормальная система, то из (3.53) с учетом находим

Наконец, подставив получим

Теперь, если мы хотим выполнить условие

то должны выбрать достаточно большим, так чтобы

Выполнив разложение в ряд по степеням найдем

На первый взгляд может показаться, что при уменьшении времени нахождения переключателя на каждом контакте вдвое верхняя граница ошибки определения коэффициентов Фурье соответственно уменьшается. Однако, повторив предыдущий анализ для такого случая, получим

Таким образом, верхняя граница ошибки определения коэффициентов Фурье существенно не уменьшается, даже при очень больших т. Физически это объясняется тем» что могут встретиться сигналы, сконцентрированные в тех отрезках времени, когда переключатель не находится ни на одном контакте. В этом случае не приходится ждать хороших результатов спектрального анализа.

К упр. 4,1, Чтобы найти значение как обобщенной функции, нужно проанализировать порождаемый ею линейный функционал в Итак, пусть Т есть интервал времени и

Сделав замену переменной: мы получим

Но по определению имеем

Отсюда заключаем, что для обобщенной функции имеет место зависимость

К упр. 4.3. Для анализа величины мы вначале разложим в ряд Фурье периодический множитель

где

Такам образом, мы имеем

Теперь вычислим почленно преобразование Фурье:

В силу свойства дуальности

Одним из применений этого общего результата является вывод формул преобразования Фурье для различных «последовательностей импульсивных функций»

а) Пусть тогда имеем

б) Пусть и тогда имеем

К упр. 4.4. В выражении положим и используем результаты упражнения 4.3. Тогда

Теперь вычислим почленно обратное преобразование Фурье. Мы получим

В частности, при получается обычная формула суммирования Пуассона:

Можно воспользоваться дуальным соотношением

Положив получим

(кликните для просмотра скана)

Далее, если для то

Пусть тогда (см. упр. 4.5), и При этом

К упр. 4.8.

Но согласно и в соответствии с упр. 4.5 а

Следовательно,

Отсюда

Пусть, например, мы положили

или

К упр. 5.5. Пусть инвариантный во времени оператор характеризуется импульсной реакцией (отклик на единичный импульс» поступивший в момент ).

Случай А: инвариантный во времени оператбр стоит первым:

По определению: Ядра преобразования по отношению к другим базисам получаются из согласно (5.31), (5.34) и (5.36):

Случай Б: оператор стробирования стоит первым:

Снова по определению:

Согласно (5.31), (5.34) и (5.36) для этого случая получаем остальные ядра:

К упр. 5,6. Для вырожденного оператора с импульсной реакцией

применив (5.21), получим выражение для ядра в частотной области:

Следовательно, разделимость сохранилась и в этом ядре. Разделимость является свойством данного оператора независимо от выбора базисных ядер. Чтобы это показать, выберем произвольные базисы для пространства входов и пространства выходов, скажем, соответственно. Тогда согласно (5.32) имеем

где

Подставив последнее выражение в , получим условие разделимости:

где

К упр. 5.7. Отображения, получаемые с помощью вырожденного оператора с импульсной реакцией (5.52), всегда являются линейными комбинациями следовательно область значений данного оператора есть линейное подпространство натянутое на множество этих векторов. Из (5.33) мы видим, что отображение у равно нулю тогда и только тогда, когда все скалярные произведения равны нулю для

Следовательно, нуль-пространство для вырожденного оператора есть ортогональное дополнение подпространства натянутого на

К упр. 6.1 Для направляющего вектора имеем:

Теперь мы можем записать где — вещественные скаляры, и производная может быть получена согласно (6.34) для вещественного пространства

где

Воспользовавшись (6.31), получаем производную по направлению

Теперь, чтобы выразить результат через скалярные произведения с и, запишем

Следовательно, , где векторы и определяются дующим образом:

К упр. 6.2, Согласно (6.33) производную по направлению от квадратичного функционала можно записать в виде

Чтобы убедиться в непрерывности как функционала запишем

Здесь использовано неравенство Шварца, Поскольку — ограниченный оператор, можно найти такое вещественное положительное число что

Подставив это неравенство в предыдущее, получим

Отсюда сразу же следует, что — непрерывный функционал, поскольку это неравенство имеет место для любого и любого направляющего вектора и.

К упр. 6.3, Пусть задано (и, следовательно, ) и пусть — сигнал, ограниченный по длительности в интервале Пусть теперь Т становится весьма малым по сравнению с Тогда, независимо от формы на интервале входной сигнал приближается к импульсивному, т. е.

В этом предельном случае максимум выходной энергии просто соответствует максимуму а, если имеет единичную энергию. Найдем максимум при ограничении . Пусть , полагая получаем — постоянная величина в интервале входной сигнал есть прямоугольный импульс.

К упр. 6.4. В этой задаче надо максимизировать при ограничении Оба квадратичных функционала содержат самосопряженные операторы, таким образом, положив градиент функционала равным нулю, получим

Ядро находим по табл. 6.1:

Заметим, что

К упр. 5.5. Мы имеем но в согласованном случае

Последнее равенство записано, исходя из (2.40) для вещественных сигналов.

К упр. 8.8. Для вещественных сигналов преобразование Фурье функции автокорреляции согласно (2.41) имеет вид

таким образом, также имеет ограниченную полосу Согласно равенству Парсеваля

а применение неравенства Шварца дает

или

Равенство достигается, когда есть константа на участке таким образом, импульс, обеспечивающий минимум радиуса корреляции, есть

К упр. 6.7. Максимизируем при ограничения при

Пусть

тогда

т. е.

К упр. 6.8. Максимизируем — при ограничении Используя функционалы в частотной области, имеем

где

Пусть Полагая заметим, что не является самосопряженным оператором, поэтому

Тогда

Следовательно,

Постоянный множитель следует определить из условия нормировки энергии на входе. Учитывая, что получаем

К упр. 6-9, В частотной области задача формулируется так. Надо минимизировать а при ограничении где заданные функции частоты:

Заметим, что оператор самосопряженный.

Берем и полагаем отсюда получаем искомый результат

где X должно быть выбрано так, чтобы удовлетворить условию Если соответствующее значение X достаточно мало, то , т. е. мы получаем тот же результат, что в задаче без ограничений. Наиболее интересен случай, содержится в полосе Заметим, что при результат получается таким же, как в примере 6,4.

К упр. 6.10. Например, пусть и (при этом мы попадаем на линию на рис. 6.10). Положим где прямоугольный импульс длительности , а — импульс вида имеющий полосу

Далее, подберем такие амплитуды, что , Теперь, не изменяя положим . Тогда . Заметим также, что так что

К упр. 7.1, Рассмотрим вещественный процесс на выходе фильтра. Согласно для него

Пусть — белый шум со спектральной плотностью для всех и пусть

— произвольная вещественная функция из (вообще говоря, это условие также не обязательно). Тогда

и, следовательно, есть временная функция неопределенности фильтра

К упр. 7.2. Непрерывность вытекает из следующего. Мы имеем

Далее, если непрерывна в нуле, то для любого найдется такое малое что

Следовательно, непрерывна при всех .

К упр. 7.3. Согласно (7.22) средний квадрат флюктуаций имеет значение

Следовательно, средний квадрат флюктуаций меньше, чем Мы имеем также

Но при Поэтому

Также» если то

К упр. 7.4.

Среднее значение представляет собой квадратичную форму типа (6.16) с ядром вида

Следовательно, оператор: 1) инвариантен во времени (оператор свертки); 2) положительно-определен, так как при любой самосопряжен так как

(кликните для просмотра скана)

(кликните для просмотра скана)

(кликните для просмотра скана)

(кликните для просмотра скана)

(кликните для просмотра скана)

Эти условия показывают» что если разложить в ряд Фурье на интервале , то члены, содержащие первую к вторую гармоники, должны обратиться в нуль (конечно, при условии Очевидно распределение дает процесс стационарный в широкой смысле. Но такая стационарность возможна и при других распределениях. Например, процесс стационарен в широком смысле, если распределения фазы соответствуют одному из следующих рисунков.

К упр. 8.2, Квантованный процесс

причем стационарен в широком смысле.

Рассмотрим каждое слагаемое отдельно:

поскольку при слагаемые в двойной сумме обращаются в нуль.

Следовательно»

т. е. средний квадрат ошибки периодичен во времени и имеет период Усредняя за период, получаем

«Постоянная составляющая», т. е. процесс вида где а — случайная величина, имеет постоянную автокорреляцию и средний квадрат ошибки в этом случае равен нулю.

К упр. 8.3. Широтно-импульсная модуляция. Мы можем представить процесс в виде

(кликните для просмотра скана)

(кликните для просмотра скана)

В качестве проверки этого результата заметим, что для рассматриваемого процесса поэтому мы должны получить Как следует из предыдущего,

К упр. 8.4. Пусть

где

— случайная величина, равномерно распределенная в интервале ,

Пусть далее

и при всех

Тогда

Можно переписать это выражение, выделив периодическую составляющую:

Замечая, что

запишем спектральную плотность мощности в виде

(кликните для просмотра скана)

(кликните для просмотра скана)

(кликните для просмотра скана)

(кликните для просмотра скана)

Далее, согласно (9.11) оптимальный фильтр имеет передаточную функцию

Таким образом, мы просто даем наилучшую оценку для [см. (9,16)] и достигаем этого путем «сглаживания», характеризуемого множителем

К упр. 9.2, Установим прежде всего вид ограничения на величину нормы в Мы имеем

где учтено, что не случайная функция, имеет нулевое среднее значение. Взяв преобразование Фурье, получим далее

Теперь, применяя равенство Парсеваля в можем записать функционал ограничения в виде

Выполняя это ограничение, мы хотим найти такую чтобы дисперсия ошибки была минимальной, причем

Здесь учтено, что

а шум и имеет нулевое среднее значение. Поэтому

Теперь, положив будем варьировать и приравняем градиент функционала нулю. Мы получаем

Следовательно,

где множитель Лагранжа выбирается так, чтобы удовлетворять ограничению

К упр. 9.3. Положив в примере мы имеем

Фаза функции в данной задаче несущественна. Обозначим Нам нужно найти градиент функционала который в данном случае не является квадратичным. Рассмотрим производную по направлению функционала

Поэтому согласно (6.34) имеем

Пусть теперь

что совпадает с результатом (9.32).

К упр. 9.4. Эта задача лишь незначительно отличается от примера 9.2. Здесь мы хотим минимизировать функционал

при ограничении на передаваемую мощность

где

Повторяя преобразования, аналогичные мы положим градиент функционала равным нулю при вариациях как по отношению так и Полученные два уравнения умножим на соответственно. Тогда условия стационарности принимают вид

Как и ранее, можно видеть» что X должно быть неотрицательным, и, кроне того, заключать, что

(кликните для просмотра скана)

(кликните для просмотра скана)

(кликните для просмотра скана)

(кликните для просмотра скана)

(кликните для просмотра скана)

(кликните для просмотра скана)