2.3. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

Следующая ступень в усовершенствовании структуры пространства сигналов достигается при внесении достаточно простых алгебраических взаимосвязей между рассматриваемыми сигналами. Такие взаимосвязи имеют место в Линейных пространствах, определяемых следующим образом.

Линейное пространство — это множество элементов (называемых зекпюрами и обозначаемых жирным шрифтом), обладающих следующими свойствами.

А. Для каждой пары векторов х и у из рассматриваемого множества имеется соответствующий вектор принадлежащий этому же множеству и называемый суммой х и у, такой, что:

а) сложение коммутативно

б) сложение ассоциативно

в) множество содержит единственный вектор 0 (называемый нулевым элементом), такой, что

г) для любого х имеется единственный вектор такой, что

Б. Имеется множество элементов (называемых скалярами), которые образуют поле, а также операция (называемая умножением

вектора на скаляр), ставящая любому скаляру а и любому вектору х в соответствие вектор такая, что:

Читатель, знакомый с современной алгеброй, заметит, что свойства (2.15 а) являются определениями коммутативной группы относительно операции, обозначенной Во второй части определения вводится другая операция, а связанные с ней отношения выражаются с помощью первой операции.

Полем является любое множество элементов, которые образуют коммутативную группу и по сложению, и по умножению; исключение составляет один элемент — нуль, не имеющий обратного по умножению [3].

Скалярное поле содержит, таким образом, два элемента, при использовании которых в соответствующих операциях результат не изменяется. Это 0 — в операции сложения и 1 —в операции умножения.

Мы видим, что линейное пространство содержит два различных «нуля» для сложения: один для векторов (нулевой элемент) и другой для скаляров; оба называются «нулями». Символически эти «нули» отличаются тем, что нулевой вектор обозначается жирным шрифтом, а скалярный нуль — обычным.

Для простоты понимания можно отождествить поле скаляров или с множеством действительных чисел или с множеством комплексных чисел С.

Однако обычно в приложениях теории сигналов (особенно в теории кодирования) рассматриваются линейные пространства с конечными полями скаляров. Например, бинарное множество с обычными двоичными арифметическими операциями образует конечное поле; линейные пространства над этим полем широко применяются в теории связи.

Если в качестве скаляров взять действительные числа, то линейное пространство называется действительным линейным пространством. Если же взять комплексные числа, мы получаем комплексное ли нейное пространство.

Вектор, образованный суммированием нескольких векторов со скалярными коэффициентами, называется линейной комбинацией

Легко видеть, что множество всех линейных комбинаций векторов образует линейное пространство. Далее, если взять подмножество множества где то множество линейных комбинаций векторов подмножества образует линейное пространство, являющееся подпространством исходного линейного пространства, образованного линейными комбинациями

первичного множества векторов Это подпространство называется линейным подпространством. Множество векторов называется линейно независимым, если равенство

справедливо только при всех равных нулю. Другими словами, в линейно независимом множестве вектор не может быть представлен в виде линейной комбинации других векторов множества. Пусть М — это пространство линейных комбинаций линейно независимых векторов Каждый вектор в М соответствует единственной линейной комбинации векторов — единственному множеству скалярных коэффициентов. М называется n-мерным линейным пространством. Множество называется базисом для М; говорят, что М натянуто на этом базисе. Любое множество линейно независимых векторов в М может служить его базисом; таким образом, линейное пространство имеет не один базис.

Воспользуемся двумя примерами, чтобы уточнить представление о линейных пространствах, применяемых в теории сигналов.

Пример 2.8. Множество упорядоченных последовательностей из чисел (-мерных вектор-строк) в или образует -мерное линейное пространство. Пусть Сложение векторов определяется в виде

а умножение на скаляр — в виде

Ясно, что любой вектор представим линейной комбинацией

где линейно независимых векторов задаются следующим образом:

Представление конечномерных векторов

Пусть М — произвольное n-мерное линейное пространство с базисом Любой вектор имеет единственное разложение

Упорядоченную последовательность скалярных коэффициентов можно трактовать как n-мерную вектор-строку. Таким образом, имеется взаимно-однозначное соответствие между произвольными векторами в пространстве М и пространством -мерных вектор-строк, а пространства или могут служить моделями любого действительного или комплексного -мерного пространства. Мы говорим, что набор из чисел является представлением вектора или по отношению к базису Важно помнить, что такое представление не имеет смысла само по себе, оно обязательно должно быть отнесено к конкретному базису. Различные наборы из чисел могут представлять один и тот же вектор х по отношению к различным базисам.

Пример 2.9. Множество действительных или комплексных функций времени, определенных на интервале является линейным пространством, в котором операции сложения векторов и умножения на скаляр определены в каждой точке следующим образом:

Это пространство является функциональным пространством. В большинстве представляющих интерес случаев такие пространства бесконечномерны. Этот факт нетрудно установить, если построить бесконечную последовательность функций в данном пространстве, любое конечное число которых линейно независимо. Задача отображения сигналов, заданных в обычном, естественном виде, в наиболее удобные конечномерные функциональные пространства рассмотрена в гл. 3,

Упражнение 2.5. Показать, что подпространство функционального пространства, определенное как само является линейным пространством.

Упражнение 2.6. Показать, что С [7], рассмотренное в примере 2.6, является линейным пространством.