4.4. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ УЗКОПОЛОСНЫХ СИГНАЛОВ

Комплексная огибающая сигнала

В этом параграфе рассматриваются некоторое практические вопросы, хорошо иллюстрирующие применение преобразований Фурье и Гильберта в теории сигналов. Узкополосныечгигналы используются во многих системах. Уточним, что узкополосным мы называем сигнал, преобразование Фурье которого концентрируется около частоты, удаленной от начала координат.

В отличие от них, сигналы, основная полоса которых включает начало координат (нулевую частоту), называются низкочастотными. Одна из причин широкого распространения узкополосных сигналов состоит в том, что реальная среда, в которой происходит передача сигналов, всегда обладает дисперснонностыо, ее коэффициент передачи неравномерен, изменяется с частотой. Чтобы использовать среду, не допуская значительных частотных искажений, канал передачи обычно разбивается на достаточно узкополосные субканалы, в каждом из которых дисперсионность минимальна. Такой прием используется как в радиоканалах, так и в волноводных. Он реализуется, в частности, когда исходным низкочастотным сигналом модулируют амплитуду или фазу синусоидального несущего колебания, частота которого выбрана подходящим образом, с учетом необходимой полосы пропускания,

В случае строгой амплитудной модуляции гармонического сигнала (т. е. синусоиды с постоянной частотой и постоянной фазой 0), нетрудно найти, интересующее нас низкочастотное представление. Действительно, если узкополосный сигнал имеет вид причем — низкочастотный сигнал (огибающая), то представление сигнала х очевидным образом связано с представлением огибающей и. Однако если сигнал передан по каналу с дисперсионностью, то в общем случае уже не удается найти его низкочастотное представление столь простым способом. Можно сказать, что дисперсионность канала производит частичное преобразование амплитудных изменений в фазовые, и мера этого преобразования нуждается в уточнении.

Предметом данного параграфа является обобщение на сигналы общего вида указанного выше способа получения низкочастотных представлений. Этот способ является общим и не требует для обоснования приближения «узкополосности» (по соотношению средней частоты и ширины спектра). Предварительно мы скажем несколько слов о причинах, побуждающих искать низкочастотные представления. Методы получения представлений, развитые в предыдущих главах,

можно непосредственно применить к узкополосным сигналам, однако получаемые при этом представления обычно весьма неудобны. Например, если мы применим представление в виде ряда (1.34), взяв отсчеты узкополосного сигнала с частотой, в два раза превышающей верхнюютраницу его спектра, то, очевидно, нам потребуется значительно больше отсчетов на каждом отрезке времени, чем нужно для представления соответствующего низкочастотного сигнала. Другая причина связана с тем, что все широко известные базисные функции, приведенные в § 3.3 имеют низкочастотный характер Ортонормальные системы, рассмотренные в этом параграфе таковы, что базисная функция раз пересекает нулевую линию. Значит, в подпространстве, натянутом на первые базисных функций, можно наилучшим образом аппроксимировать те функции, которые мы называем низкочастотными сигналами.

Наконец, нам часто нужно моделировать работу узкополосной системы на аналоговых вычислительных машинах. Из-за присущего этим машинам ограниченного быстродействия они значительно успешнее могут оперировать с низкочастотными эквивалентами сигналов. Мы покажем, каким образом узкополосную систему можно эквивалентно смоделировать с помощью двух взаимно связанных низкочастотных систем.

Исходным пунктом для построения нужного нам низкочастотного представления является понятие аналитического сигнала [7—9], соответствующего вещественному узкополосному сигналу Аналитический сигнал — это комплексный сигнал, который образуется, если к вещественному сигналу добавить в качестве мнимой части его преобразование Гильберта:

Вспомнив, что получим следующее полезное соотношение:

Наиболее важным свойством аналитического сигнала является то, что преобразование Фурье от него — «одностороннее»; т. е. отлично от нуля только при положительных частотах. Согласно (4,28) имеем

К счастью, понятия огибающей и фазы, вводимые с помощью аналитического сигнала, не только не противоречат обычным понятиям, интуитивно ясным в узкополосном случае, но такой подход позволяет дать общее определение, применимое к любым сигналам.

Под огибающей понимается модуль аналитического сигнала

При достаточной узкополосности сигнала эта величина близка к напряжению на выходе детектора огибающей. Очевидно, огибающая не дает полного описания сигнала. Дополнительная информация содержится в аргументе фазе, т. е. в мнимоййасти логарифма.

С точки зрения физической интерпретации часто более полезна производная фазы, чем она сама. Мы определяем мгновенную частоту произвольного сигнала следующим образом:

Эта функция приблизительно соответствует выходному сигналу частотного дискриминатора.

Теперь, чтобы получить эквивалентное низкочастотное представление сигнала, мы просто сдвинем преобразование Фурье от так, чтобы оно оказалось сцентрированным около нулевой частоты (рис. 4.3) и представляло собой низкочастотный сигнал.

Мы полагаем, по определению,

так что

а исходный вещественный сигнал связан с комплексным сигналом соотношением

Ясно, что комплексное представление является прямым развитием известного символического метода, позволяющего представлять синусоидальные колебания комплексными числами. Сигнал у называется комплексной огибающей сигнала х. Согласно (4.44) узкополосный сигнал следующим образом выражается чере вещественную и мнимую части у:

где

Вещественна низкочастотные сигналы называются соответственно синфазной и квадратурной компонентами узкополосного сигнала. Очевидно, огибающая есть просто и не зависит от выбора

Мгновенная частота выражается через комплексную огибающую так:

Рис. 4.3, Преобразование Фурье узкополосного сигнала и его комплексной огибающей.

Во многих случаях частоту выбрать нетрудно. Например, для модулированного синусоидального сигнала естественно и удобно взять равной частоте немодулировэнного несущего колебания. В других случаях можно выбрать более или менее произвольно, и тогда она выбирается с тем, чтобы минимизировать ширину полосы ; это дает некоторое упрощение представления. Один из способов такого рода состоит в выборе в качестве «центра тяжести» вещественной положительной функции Такое значение минимизирует величину

Положив производную по равной нулю, найдем

Применяя к (4.48) равенство Парсеваля (4.14), получаем

Такое определение центральной частоты допускает также физическую интерпретацию: есть взвешенное среднее времени мгновенной частоты. Действительно, из (4.41) и (4.49) с учетом (4.40) находим

Замечая, что согласно (4.40)

и, следовательно,

Мы можем объединить (4.50) и и привести наше определение средней частоты к интуитивно подходящей форме средневзвешенной по огибающей:

Упражнение 4.7. Показать, что для произвольного вещественного сигнала « комплексная огибающая сигнала имеет вид

Отсюда следует, что если — сигнал с ограниченной полосой, причем верхняя граничная частота ниже так что при то

Для этого случая показать, что и что комплексная огибающая есть

Упражнение 4.8. Пусть — вещественные узкополосные сигналы с комплексными огибающими Показать, что

Показать также, что есть сигнал сдвинутый по фазе на 90°, т. е. его комплексная огибающая есть