9. ОПТИМАЛЬНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ СИГНАЛОВ

9.1.    ВВЕДЕНИЕ

Разработанные в двух последних главах способы описания случайных процессов позволяют более полно рассмотреть вопросы проектирования систем оптимальной фильтрации сигналов. Это обусловлено тем, что мы теперь с помощью линейных и квадратичных функционалов можем описывать характеристики как детерминированных, . так и случайных элементов системы. Применяя вариационные методы гл. 6, мы будем оптимизировать некоторые детерминированные менты системы для повышения ее эффективности. В частности, можно оптимизировать форму сигнала, применяемого в системе с АИМ, или импульсную характеристику фильтра, выделяющего сигнал из шума. В этой главе рассматривается проблема фильтрации. Мы имеем возможность исследователи ро кий класс задач, требующих отыскания оптимальных фильтров по критерию минимума среднеквадратической ошибки. Наглядная интерпретация этих результатов основана на введенных ранее понятиях, связанных с пространством сигналов.

В следующем параграфе дана общая формулировка проблемы оценки параметров сигнала при линейной фильтрации и получено условие на импульсную характеристику фильтра, обеспечивающего минимум среднего квадрата ошибки. Дальнейшие параграфы посвящены отысканию характеристик, удовлетворяющих этому условию в частных задачах фильтрации. Некоторые из рассмотренных примеров хорошо известны и освещены в литературе по теории систем связи или систем управления. Другие примеры привлекали меньше: внимания, но они поддаются тем же методам анализа.

Для упрощения и выявления главных факторов, влияющих на структуру оптимального фильтра, рассматриваемые задачи кое в чем идеализированы. В практических приложениях следует объединять черты нескольких примеров.

Нужно отметить, что во многих случаях оптимальная система обработки сигналов нелинейна. Несмотря на это, исследование линей ной фильтрации имеет большое практическое значение, так как линейные фильтры используются чаще, чем нелинейные. Мы трактуем условие линейности и условие физической реализуемости (неоперелсающий отклик) как практические ограничения, навязанные конструктору. Правда, задачи вначале формулируются без учета физической реализуемости. Помимо простоты, такое приближение оправдано двумя причинами. Во-первых, характеристика оптимального нереализуемого фильтра часто может быть хорошо аппроксимирована физически реализуемым фильтром с достаточно, большой постоянной

времени. Во-вторых, система с нереализуемым оптимальным фильтром служит полезной основой при построении квазиоптимальных систем, удовлетворяющих условию реализуемости. Но вряде случаев физическая реализуемость является существенным ограничением и важно оптимизацию выполнить с его учетом. Такие задачи обсуждаются в § 9.6.