3. ДИСКРЕТНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ СИГНАЛОВ

3.1. ПОДПРОСТРАНСТВА ИЗ L2(T)

Используя понятия, введенные в предыдущих главах, рассмотрим теперь задачу сопоставления произвольному сигналу с ограниченной энергией, т. е. временной функции (возможно, комплексной) ее численного представления.

Задача сводится нахождению подходящего отображения пространства в пространство причем обычно выбирается компромиссно, с учетом точности и экономичности представления. Поскольку число измерений пространства бесконечно, а конечно, отображение должно быть типа «много в одно»; это подразумевает такую степень приближения, при которой произвольный сигнал из не может иметь представления в отличного от представления всех других сигналов. К таким отображениям естественно подходить с позиций отношения эквивалентности. Мы разбиваем пространство на множества эквивалентности, каждому из которых взаимно-однозначно соответствует некоторая точка в

Обычный подход к этой задаче состоит в выборе некоторого -мерного подпространства из . Пусть есть система линейно независимых функций в так что при условие

выполняется почти всюду в том и только в том случае, если при всех Обозначим через линейное подпространство, натянутое на эти функции. Если рассматриваемый сигнал принадлежит то он может быть единственным образом представлен в виде линейной комбинации

и набор чисел (вектор-строка) образует искомое представление в Поскольку есть пространство со скалярным произведением

то согласно (243) отношение между х и а может быть выражено в матричной форме:

или

где

Применяя другую запись, введем в взаимные базисные функции которые могут быть представлены в виде линейной комбинации

причем

или в матричной форме

Используя взаимный базис, можно переписать (3.4) в виде

В обоих случаях, однако, необходимо вычислять обратные матрицы.

Упражнение 3.1. Показать, что представление определяемое согласно (3.2) и (3.4), единственно вследствие линейной независимости безисных функций.

Сигналы, расположенные вне Mn (теорема проектирования)

Остается невыясненным, как находить представление сигналов, не принадлежащих Поскольку — метрическое пространство, представляется разумным поставить в соответствие произвольному вектору х принадлежащий вектор х, наиболее близкий к х. В этом случае каждый из порождает множество эквивалентности

при этом все векторы из имеют одно и тоже представление в виде набора чисел, совпадающее с представлением вектора х. Оказывается, важно и то, что представление (3.7) применимо к любому вектору . Этот результат следует теоремы проектирования. Для любого вектора х существует единственный вектор задаваемый разложением

такой, что разность — ортогональна ко всем векторам из где х — любой другой вектор в Из (3.9) и (3.5) имеем

Отсюда следует, что вейтор ортогонален ко всем векторам в Для того чтобы показать, что минимальная норма из всех рассмотрим произвольный вектор

Поскольку средние слагаемые пропадают, и мы имеем

Ясно, что минимум достигается Назовем х ортогональной проекцией х на — погрешностью приближения вектором х. Точность приближения численно характеризуется нормой Положив в получим

Теперь ясно, что отношения эквивалентности, соответствующие разбиению согласно (3.8), могут быть записаны следующим образом:

что соответствует приведенному во введении примеру 1.7, иллюстрирующему отношения эквивалентности и разбиения. Из рассмотрения этого примера следует, что (3.13) может быть записано также иначе:

где для всех Легко показать, что М в (3,14) есть линейное подпространство. М называется ортогональным дополнением потому что любой вектор из может быть единственным образом представлен суммой вектора из и вектора из М, причем эти векторы ортогональны, т. е. для любого х имеет место:

Итак, естественно рассматривать как прямую сумму подпространств . Заметим, что единственным общим элементом и М является нулевой вектор. Все эти понятия графически поясняются на рис 3,1,

Упражнение 3.2, Прямые суммы и проекции. Можно сказать, что линейное пространство есть сумма подпространств М и в том случае, когда является пространством, натянутым на наибольшее количество линейно независимых векторов, содержащихся в М и совместно. Тогда любое может быть представлено как где Показать, что разложение единственно тогда и только тогда» когда т. е. если общим для М и вектором является только нулевой вектор. В этом случае говорят, что есть прямая сумма М и Заметьте, что М и не обязательно ортогональны. Если — любой вектор из то называется проекцией на М вдоль

(рис. 3.2), Пусть является базисов в L, и пусть есть взаимный базис, и, наконец, пусть М натянуто на базис натянуто на базис Показать, что проекция на М вдоль может быть представлена в виде

причем не обязательно является взаимным базисом в М. Понятие неортогональной проекции будет полезно при рассмотрении некоторых вопросов обнаружения сигналов (см. гл. 10),

Пример 3.1. Пусть есть подпространство из натянутое на действительные экспоненциальные функции Пусть требуется найти наилучшее приближение в М для прямоугольного импульса: для для Можно записать

Рис. 3.1. Иллюстрация ортогонального проектирования конечномерное подпространство.

Следовательно, в (3.4) матрица имеет вид:

Согласно (3.5) взаимный базис есть:

и

следовательно,

есть представление в . Погрешность аппроксимации составляет

Приближение иллюстрируется на рис. 3.3.

Пример 3.2. Для получения взаимного базиса не всегда нужно находить обратную матрицу, что очень трудно при больших Развивая предыдущий пример, мы продемонстрируем способ отыскания взаимного базиса для натянутого на при и произвольного Нам нужны такие что

где есть преобразование Лапласа от Поскольку в общем случае есть линейная комбинация при любом есть рациональная функция с полюсами в точках . С другой стороны, из (3.16) следует, что обращается в нуль в точках исключая точку

Рис. 3.2. Неортогональное проектирование.

Рис. 3.3. Аппроксимация прямоугольного импульса х с помощью

Поэтому может быть записана следующим образом:

Согласно и мы можем определить также константу

Наконец, найдем обратное преобразование Лапласа обычным способом, с помощью вычетов

где

Упражнение 3.3, Применяя (3.19), найти примера 3.1.