9.2. МИНИМИЗАЦИЯ СРЕДНЕГО КВАДРАТА ОШИБКИ ПРИ ОЦЕНКЕ ПАРАМЕТРА

Задача оценки параметра в системах передачи сигналов иллюстрируется на рис. 9.1. Передаваемый сигнал подвергается отображению которое описывает влияния канала передачи. При этом преобразуется в свой образ — принимаемый сигнал, который далее проходит через фильтр с импульсной характеристикой

Рис. 9.1. К оценке параметра сигнала.

Импульсная характеристика фильтра должна быть выбрана так, чтобы на выходе (в момент t) получить минимум среднеквадратической погрешности оценки параметра содержащегося в сигнале Оцениваемый параметр сигнала может быть охарактеризован отображением . Иногда полезно считать, что — описание идеального канала и задача состоит в том, чтобы найти линейный фильтр, включенный последовательно с реальным каналом который обеспечивает отображение, близкое к

Предполагая, что сигнал вещественный, запишем функционал среднего квадрата ошибки для момента в виде

Используя связь входа и выхода фильтра

представим далее функционал I как сумму квадратичного, линейного и постоянного функционалов относительно причем рассматривается как функция при фиксированном параметре

Как видно, эти функционалы полностью определяются через автокорреляцию и перекрестную корреляцию процессов и

Квадратичный функционал соответствует самосопряженному оператору, поэтому стационарные точки функционала определяются при варьировании решениями уравнения

которое получается, если приравнять нулю градиент функционала A. В большинстве важных случаев принадлежит (как функция пространству но иногда нужно расширить функциональное пространство, чтобы включить в него решения уравнения (9.4).

Принцип ортогональности

Другая трактовка проблемы оптимальной фильтрации получается, если функционал ошибки рассматривать на пространстве случайных величин. Пусть — линейный оператор фильтра, удовлетворяющего условию (9.4), Тогда (9.4) можно переписать в эквивалентной форме

Это значит, что нужно выбирать так, чтобы случайная ошибка была ортогональна ко всем случайным величинам из процесса соответствующего принимаемому сигналу. Такой результат интуитивно ясен: если бы имела место корреляция между ошибкой и принимаемым сигналом, то при последующей обработке можно было бы получить лучшую оценку. Используя (9.5), покажем другим способом, что (9.4) есть условие оптимальности. Пусть X — некоторый другой линейный оператор. Тогда

В силу условия (9.5) второе слагаемое в последнем выражении равно нулю. Третье слагаемое неотрицательно, поэтому X не может

дать меньшейсреднеквадратической ошибки, чем Мы доказали не только необходимость, но и достаточность условия (9.4),

Минимальную величину среднего квадрата ошибки можно вычислить, заметив, что

Для оптимального фильтра последний член исчезает, и получается

В нижеследующих параграфах мы конкретизируем решение задачи применительно к некоторым отображениям представляющим практический интерес. При расчетах характеристики оптимального фильтра удобнее пользоваться частотным аналогом уравнения (9.4), получаемым, если взять преобразование Фурье от обеих его частей.