2.4. НОРМИРОВАННЫЕ ЛИНЕИНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

Теперь объединим геометрические свойства, характерные для метрических пространств, и алгебраические свойства, выявленные в линейных пространствах. Это достигается путем определения действительного числа, характеризующего «размер» элемента в линейном пространстве. Такое число называется нормой вектора (обозначается ) и может быть определено с помощью любого отображения линейного пространства в действительную ось, удовлетворяющего следующим требованиям:

только если

С учетом этих свойств легко показать, что

есть метрика, удовлетворяющая условиям (2.1); такая метрика используется в нормированном линейном пространстве, если мы хотим, чтобы оно было метрическим. Заметим, что норма вектора равна расстоянию точки от начала координат. Нормированное линейное пространство, являющееся полным метрическим пространством, называется банаховым пространством.

Во всех примерах § 2.1, за исключением примера 2.5, можно считать, что метрики Получены через нормы. Например, мы можем определить норму для соотношением

а для действительных или комплексных функций времени, определенных на — соотношением

Именно такое определение нормы мы выбрали для представления сигналов в силу простоты физической интерпретации квадрата нормы как энергии сигнала (1.5), а также потому, что эта норма естественным образом возникает в более сложных линейных пространствах, используемых в последующих параграфах. Множество функций, для которых норма (2.27) ограничена, называется пространством обозначаемым Началом координат в этом пространстве является функция, равная нулю почти всюду на интервале Т.

Упражнение 2.7. Показать, что отображение определяемое выражением является непрерывным.