2 ПРОСТРАНСТВА СИГНАЛОВ

2.1. МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА

Объединив сигналы, обладающие некоторым общим свойством, в одно множество, мы, естественно, начинаем интересоваться отличительными свойствами отдельных элементов этого множества. Конкретные сигналы представляют интерес лишь в их отношении с другими сигналами множества. Например, мы можем интересоваться энергией, длительностью, частотой изменения, числом пересечений нулевого уровня,

максимальной амплитудой» и т. д. данного сигнала по сравнению с другими.

Общий подход, который и интуитивно кажется подходящим, для обозначения различия между двумя элементами множества состоит в том, что каждой паре элементов ставится в соответствие действительное положительное число, которое трактуется как расстояние между элементами, при этом само множество приобретает геометрические свойства. Множество с подходящим образом определенным расстоянием представляет собой пространство сигналов.

Для определения расстояния необходим функционал, который отображает все пары элементов множества на действительную ось. Такой функционал называется метрикой, если он обладает следующими свойствамн:

Эти требования являются просто формализацией свойств, интуитивно Связываемых с расстоянием: а) расстояние — это неотрицательная величина, б) расстояние от х до у равно расстоянию от у до длина одной стороны треугольника не может превосходить сумму длин других (здесь мы геометрически представляем элементы как вершины треугольника).

Множество с метрикой называется метрическим пространством Следует заметить, что две разные метрики, определенные на одном и том же множестве элементов, образуют разные метрические пространства.

Пример Действительная ось включающая множество всех действительных чисел, есть метрическое пространство с метрикой

Это обычная метрика на Полезно представлять себе другие метрические пространства как обобщение этого знакомого примера.

Пример 2.2. На базе множества упорядоченных последовательностей действительных чисел (вектор-строк из чисел) можно образовать различные метрические пространства. Если мы положим то следующие функционалы дают примеры возможных метрик:

Эти метрики могут быть использованы и на множестве последовательностей комплексных чисел; при этом модуль комплексного числа выражается как корень квадратный из суммы квадратов

действительной и мнимой частей, т. е. если , то Все определения также могут быть распространены на бесконечные последовательности; тогда задаются метрики на и . В этом случае в метрике (2.3 в) maximum заменяется на supremum — точную верхнюю грань множества и записывается так:

Метрика (2.36) соответствует обычному пониманию расстояния в трехмерном пространстве и называется евклидовой метрикой.

Рис. 2.1. Система кодовых слов с минимальным расстоянием, равным 2.

Рис. 2.2. Система кодовых слов с минимальным расстоянием, равным 3.

Пример 2.3. В системах связи, в которых информация передается в виде двоичных символов (0 или 1), сообщение обычно является некоторой последовательностью кодовых слов фиксированной длины, скажем, n-значных. Кодовые слова — это наборы чисел, принимающих значение 0 или 1. Из множества различных слов может быть образовано метрическое пространство путем задания расстояния мевду любой парой слов, равного числу несовпадающих символов. Это эквивалентно суммированию по модулю 2 символов во всех позициях

Эта метрика называется расстоянием по Хеммингу для двоичных слов и употребляется для изучения кодов с обнаружением ошибок и корректирующих кодов [1, 2]. Пример кода с обнаружением ошибок показан на рис. 2.1, где даны восемь кодовых слов, выбранных из шестнадцати возможных таким образом, чтобы минимальное расстояние между

любой парой слов было равно 2. Это достигается путем добавления к трем информационным разрядам разряда проверки на четность, так чтобы каждое слово содержало четное число единиц. Поскольку минимальное расстояние между словами равно 2, появление ошибки в одном разряде может быть обнаружено.

Добавив еще разряды проверки на четность, получим множество кодовых слов с минимальным расстоянием, равным 3. В этом случае получается корректирующий код, так как появление одной ошибки при передаче приводит к получению кода, который ближе к правильному коду, чем ко всем остальным. Пример семиразрядного кода, имеющего четыре информационных разряда и три разряда проверки на четность, приведен на рис. 2.2.

Пример 2.4. Для произвольного множества действительных или комплексных функций времени, заданных на определенном интервале могут быть определены метрики, аналогичные примеру 2.2:

Для метрик характерна известная трудность. Если х и у отличаются только в одной точке, например в точке то , но (см. рис. 1.10). Мы преодолеем эту трудность, если будем трактовать функции, отличающиеся лишь на счетном множестве точек интервала Т, как одну точку метрического пространства. В этом случае мы говорим, что х и у равны почти всюду.

Пример 2.5. Для произвольного множества метрика может быть определена с помощью функции такой, что

Хотя эта метрика тривиальна, она иногда полезна для доказательства общих теорем и для построения противоречащих примеров (поскольку она применима к любому множеству).

Упражнение 2.1 Если условия, определяющие метрику (2.1), сделать менее жесткими, т.

то функционал определенный на множестве называется псевдометрикой [3]. Псевдометрика отличается от метрики толькотем, что расстояние может быть равно нулю для Показать, что в 30 имет место отношение эквивалентности, обусловленное равенством нулю псевдометрики:

Показать, что множество множеств эквивалентности, порождаемых этим отношением эквивалентности, можно преобразовать в метрическое пространство. Объяснить смысл отношения «равны почти всюду».

Упражнение 2.2, Пусть произвольный функционал, определенный на 37. Показать, что

есть псевдометрика.

Упражнение 2.3, Пусть — метрическое пространство и пусть

Показать, что есть метрическое пространство. Какими существенными свойствами оно обладает?