10.4. ОБНАРУЖЕНИЕ БИНАРНЫХ СИГНАЛОВ В БЕЛОМ ГАУССОВОМ ШУМЕ

В качестве простейшего практического приложения теории обнаружения, использующего проверку по отношению правдоподобия, рассмотрим приемник, который решает, какой из двух известных сигналов присутствует на фоне аддитивного белого гауссова шума с нулевым средним. Мы предполагаем, что время наблюдения конечно и синхронизация осуществляется так, что интервал наблюдения можно выбрать оптимально. Позже мы увидим, что этот интервал следует выбирать так, чтобы он содержал максимально возможную энергию сигнала. Итак,

где — случайная реализация шума с нулевым средним, автокорреляционная функция которого есть

Мы предполагаем, что приемник может осуществить ортогональное проектирование принятого сигнала на -мерное подпространство , где произвольно.

Пусть — вещественный ортонормальный базис в Решение базируется на значении отношения правдоподобия для вещественного n-мерного вектора

где

При аддитивном шуме функции правдподобия (10.6) выражаются через совместную плотность вероятности

для -мерного вектора шума

Совместная плотность вероятности для гауссовых случайных величин

Для гауссова случайного процесса с нулевым средним совместную плотность вероятности легко подсчитать. Сначала дадим определения гауссова случайного процесса. Если случайные величины для любого множества и любого являются совместно распределенными гауссовыми случайными величинами с нулевым средним, то — гауссов случайный процесс с нулевым средним. Это означает (по определению), что совместная характеристическая функция (7.11) представляет собой экспоненту с квадратичной формой в показателе [31

где

Заметим, что такой процесс полностью характеризуется функцией автоковариации.

Теперь получим выражение для совместной характеристической функции случайных величин вида

где предполагается, что вещественны и — гауссов случайный процесс с нулевым средним. Хорошо известно, что линейное преобразование гауссова случайного процесса дает другой гауссов процесс. В нашем случае это можно проиллюстрировать следующим образом. Для вещественной -мерной вектор-строки и случайного -мерного вектор-столбца мы можем записать случайную величину в виде

где

При достаточно большом можно аппроксимировать конечной суммой, разбив Т на равных интервалов. Тогда

Теперь, используя (10.34) и (10.31), получаем

но

где С — квадратная матрица с элементами

Следовательно, для достаточно больших мы показали, что

и представляют собой гауссовы случайные величины с ковариацией определяемой согласно (10.37).

Если векоррелированны, то С — диагональная матрица и

где

Совместную плотность вероятности можно найти, взяв преобразование Фурье от каждого

где

Заметим также, что если гауссовы случайные величины некоррелированы, то в соответствии с (7.17) они статистически независимы.

Отношение правдоподобия для аддитивного гауссова шума

Возвращаясь теперь к вычислению функций правдоподобия (10.30) для гауссова белого шума и, из (10.37) мы имеем

Но поскольку принимает вид

Таким образом, для любого ортонормального базиса в представление белого гауссова шума имеет некоррелированные коэффициенты с одинаковой дисперсией . Подставляя (10.40) в (10.30), находим

Отношение правдоподобия имеет значение

Так как показательная функция монотонна, сравнение с порогом эквивалентно сравнению показателя экспоненты с порогом и решающее правило принимает вид

или, что тоже:

Для упрощения формул введем разностный сигнал:

Уравнение

определяет плоскость в , нормальную к которая делит на области как показано на рис. 10.5.

Рис. 10.5. Разделяющая поверхность для критерия отношения правдоподобия

Области разделяются плоскостью, нормальной к вектору разностного сигнала d.

Если выбраны так, что для достаточно большого содержатся в то скалярное произведение -мер-ных векторов эквивалентно скалярному произведению в [см. (2.49). Итак, мы сразу получаем одномерное решающее правило, соответствующее (10.45), и зависящее только от величины проекции сигнала у на направление

Реализация приемника

Из (10.48) ясно, что приемник должен сформировать скалярное произведение принятого сигнала и разности передаваемых сигналов (следовательно, в приемнике должен храниться опорный сигнал) и сравнить это значение с заранее рассчитанным порогом, определяемым величиной и разностью энергии передаваемых сигналов. Реализация такой операции может быть выполнена с помощью методов, рассмотренных в § 2.6, Скалярное произведение можно образовать с помощью интегратора и умножителя, показанных на рис. 10.6, или с помощью фильтра и отсчетного устройства (рис. 10.7).

При реализации с помощью фильтра его импульсная реакция есть . Таким образом, фильтр согласован с разностным сигналом в белом шуме (см. § 9.4). Это показывает, что в случае белого шума, минимизация среднего квадрата ошибки при оценке амплитуды импульса эквивалентна проверке гипотез по отношению правдоподобия. Мы можем убедиться, что эти задачи эквивалентны, если перепишем (10.3), используя разностный сигнал, так что принятый сигнал будет представлен через нужную случайную величину — амплитуду импульса

Оценка амплитуды разностного сигнала эквивалентна определению, какой из сигналов присутствует или

Другая принципиально важная сторона этих результатов заключается в том что может быть подпространством не слишком большой размерности.

Рис. 10.6. Реализация приемника, работающего по отношению правдоподобия, с помощью умножителя и интегратора.

Мы можем даже положить, что одномерное подпространство, включающее Приемник отбрасывает как ненужную информацию [1] любую компоненту принятого сигнала, ортогональную к Это вызвано тем, что в случае белого шума такие компоненты статистически не зависят от того, какой сигнал присутствует.

Рис. 10.7. Реализация приемника, работающего по отношению правдоподобия, с помощью согласованного фильтра и отсчетного устройства. Опорный сигнал есть зеркальное отражение импульсной реакции фильтра.

Для работы приемника важна лишь единственная ортогональная проекция шума на . Развивая сказанное, положим, что — подпространство, натянутое на как показано на рис. 10.8. Тогда проекция принятого сигнала на имеет вид

и решающее правило (30.48) принимает форму:

Функции правдоподобия (10.43) становятся теперь одномерными плотностями вероятностей и характеристики приемника вычисляются из (10.12) и (10.13):

Рис. 10.8 Деление пространства сигналов на области по критерию отношения правдоподобия.

Замена переменной в (10.52) приводит к обычному интегралу вероятностей

где

и

Положив

получим

Используя (10.53), (10.56) и табулированные значения можно рассчитать рабочие характеристики приемника для различных значений параметра показанные на рис. 10.9. Ясно, что вероятности ошибок уменьшаются с увеличением т. е. отношения сигнал/шум. Поскольку пропорционально то характеристика пр иемника зависит от того, как велика энергия разностного сигнала, содержащаяся в интервале наблюдения Т, В некоторых случаях энергия импульсов фиксирована на своем максимальном уровне и не зависит от Т. Тогда Энергия максимальна при для при этом

Рис. 10.9. Рабочая характеристика приемника для бинарного обнаружения сигналов.

В двоичной системе связи информационные импульсы должны передаваться каждые Т сек. Мощность сигнала равна Чтобы избежать заметных межсимвольных помех, ширина полосы канала должна быть по крайней мере Мощность шума в этой полосе равна — двухсторонняя спектральная плотность). С учетом этого мы видим, что можно трактовать как отношение мощности сигнала к мощности шума. Для многих систем связи характерны равные цены ошибок I и II рода, а также равноверятность обеих гипотез. В этом случае приемник соответствует критерию максимального правдоподобия: и полная вероятность ошибки есть

При высоком качестве приема, скажем при рабочая характеристика становится неудобной для оценки качества системы, так как все рабочие точки располагаются в левом верхнем углу. Для таких случаев более удобен график зависимости логарифма вероятности ошибки от отношения сигнал/шум [4], показанный на

рис. 10.10. График соответствует уравнению (10.58) и дает идеальную характеристику системы. Реальная характеристика несколько хуже за счет межсимвольных помех, временных ошибок и пр. Эти помехи удобно учитывать, вводя эквивалентный шум оборудования, необходимое увеличение отношения сигнал/шум для сохранения заданной вероятности ошибки, такой же, как в идеальном случае.

Рис. 10.10. Ошибки приемника, максимизирующего отношение правдоподобия, при бинарном обнаружении сигналов в гауссовом шуме.

Упражнение 10.1. Приемник выполняет ортогональное проектирование на пятимерное подпространство Компоненты в выбранном ортонормальном базисе имеют значения

Реализация принятого сигнала в смеси с белым шумом имеет компоненты

Пусть априорная вероятность поступления сигнала равна 0,6, а цена ошибки «принять за в два раза больше, чем цена замены на Полагая дисперсию шумовых компонент равной 0,6 принять решение на основе критерия Байеса и определить для данного вероятность это решение неверно.

Упражнение 10.2. Обнаружитель по критерию Неймана—Пирсона определяет наличие или отсутствие сигнала в белом гауссовом шуме

Вычислить предполагая, что — прямоугольный импульс с амплитудой и длительностью а порог установлен так, что