Собственные значения и собственные пространства

Значения , при которых уравнение

имеет нетривиальные решения называются собственными значениями оператора 58. Соответствующие решения (обычно нормированные) называются собственными векторами (или собственными функциями в Уравнение (5.92) может иметь несколько линейно-незавнсимых решений для одного собственного значения. Если имеется линейно-независимых решений для то говорят, что собственное значение имеет кратность -мерное подпространство натянутое на эти векторы, инвариантно относительно X в том смысле, что . Это подпространство называется собственным пространством для данного Для упорядочивания и нумерации собственных значений и собственных векторов, можно рассматривать только различные значения удовлетворяющие (5.92), и соответствующие им собственные

пространства; можно также нумеровать каждое раз и сопоставлять каждому собственному значению один собственный вектор. Оба эти способа бывают полезны.

Операторы, обладающие тем свойством, что их пространство входов натянуто на их собственные векторы, называются простыми операторами [5]. Мы рассмотрим некоторые подклассы простых операторов, для которых можно развить сравнительно несложную теорию представлений.