Полосовая фильтрация

Преимущества представления сигналов с помощью комплексной огибающей были бы в значительной мере утрачены, если бы воздействие на сигнал полосового фильтра нельзя было непосредственно описать через комплексную огибающую. Мы покажем» однако, что полосовая фильтрация узкополосного сигнала может быть интерпретирована как фильтрация комплексных низкочастотных сигналов комплексными же фильтрами. Рассмотрим полосовой фильтр (рис. 4.4) с передаточной функцией

Входной сигнал имеет вид

Рис. 4.4. Полосовая фильтрация узкополосного сигнала. Следовательно,

Передаточную функцию фильтра можно представить аналогично:

где

Это эквивалентно утверждению, что фильтр описывается комплексной огибающей его импульсной реакции Для выходного сигнала имеем

Здесь учтено, что при умножении (4.53) на (4.54) два члена из четырех обращаются в нуль вследствие односторонности (рис. 4.5).

Из (4.55) очевидно, что

и, таким образом, комплексная огибающая сигнала на выходе фильтра получается просто как свертка комплексной огибающей входного сигнала и комплексной огибающей импульсной реакции фильтра:

Рис. 4.5, Представление полосовой фильтрации с помощью односторонних спектральных функций.

Теперь остается показать, как можно реализовать такую комплексную низкочастотную фильтрацию с помощью вещественных низкочастотных фильтров. Для этого рассмотрим синфазную и квадратурную компоненты порознь. Прежде всего уточним: мы называем фильтр вещественным, если отклик на вещественный сигнал веществен. В частности» это означает, что импульсная реакция фильтра вещественна, а это, в свою очередь, предполагает передаточную функцию симметричной относительно начала, т. е.

Теперь разложим на действительную и мнимую части:

где функции и — вещественны и могут рассматриваться как импульсные реакции вещественных низкочастотных фильтров. Соответствующие передаточные функции имеют вид:

т. e. они представляют собой симметричную и несимметричную части (в указанном выше смысле) комплексной передаточной функции Поэтому непосредственно связаны с симметричной и несимметричной относительно «центральной» частоты компонентами узкополосной функции

Рис. 4.6. Эквивалентная низкочастотная фильтрация.

Теперь, подставив в (4.57) вещественные низкочастотные функции, получим

или в частотной записи:

Резюмируя, можно сказать, что полосовой фильтр с одним входом и одним выходом заменяется схемой, содержащей низкочастотные фильтры, но с двумя входами и двумя выходами, причем эта схема характеризует преобразование синфазной и квадратурной компонент сигнала, рассматриваемых порознь.

Блок-схема эквивалентной низкочастотной системы показана на рис. 4.6. Каскадное соединение полосовых фильтров имеет прямой

эквивалент, состоящий из низкочастотных фильтров, как показано на рис. 4.7.

Заметим, что, если характеристика полосового фильтра симметрична относительно то и перекрестных связей между синфазной и квадратурной составляющими нет. Это один из возможных видов передаточной функции, при которой исключаются преобразования амплитудной модуляции узкополосного сигнала в фазовую.

Рис. 4.7. Низкочастотный эквивалент каскадного соединения полосовых фильтров.

Следующие примеры поясняют полезность понятия комплексной огибающей в различных задачах модуляции. Предполагается, что читатель знаком с основами однополосной и двухполосной амплитудной модуляции.

Пример 4.3. Понятно, что наиболее простой способ сформировать однополосный AM сигнал состоит в том, чтобы вначале путем умножения сформировать двухполосный AM сигнал, а затем пропустить его через полосовой фильтр с частотой отсечки чтобы устранить одну боковую полосу. Эти операции схематически изображены на рис. 4.8.

Для передаточной функции полосового фильтра, показанного на рис. 4.8, из (4.54) имеем

и, следовательно, согласно (4.59)

Предположим, что модулирующий сигнал не содержит частот выше Для Тогда , используя (4.61) совместно с (4.26), находим

Это значит, что модулирующий сигнал (половинной амплитуды) передается однополосной AM с верхней боковой полосой, причем он содержится в сигнале в качестве синфазной компоненты. К последней добавляется в качестве квадратурной компоненты преобразование Гильберта от модулирующего сигнала, и

Рис. 48. Реализация однополосной AM с помощью полосового фильтра.

Если же фильтр срезает верхнюю боковую полосу и формирует однополосный AM сигнал с нижней боковой полосой, то выходной сигнал имеет вид

Пример 4.4. Стандартная запись однополосного AM сигнала, приведенная в примере 4.3, наводит на мысль о другой схеме модулятора, в котором полосовой фильтр заменен низкочастотной фазосдвигающей цепью. Такой модулятор показан на рис. 4.9, он называется модулятором Хартли.

Пример 4.5. На рис. 4.10 показан подобный модулятор, содержащий две ветви с одинаковыми низкочастотными фильтрами вместо фазосдвигающего устройства. Из схемы ясно, что

После обычных тригонометрических преобразований можно переписать это выражение в более удобной форме:

из которой видно, что комплексная огибающая сигнала х есть просто

где

Рис. 4.9. Модулятор Хартли для получения однополосного AM сигнала

Такая схема формирует однополосный AM сигнал, если — характеристика низкочастотного фильтра с отсечкой на частоте при в остальной области). Действительно, расчленяя на действительную и мнимую части

получаем

Принимая, наконец, что имеет полосу, ограниченную частотой для получаем однополосный AM сигнал с верхней боковой полосой. Такой модулятор называется модулятором Вивера.

Нужно отметить, что рассмотренные в этих примерах однополосные модуляторы физически не реализуемы, поскольку не реализуемы идеальные полосовые фильтры в первом примере, идеальное фазосдвигающее устройство — во втором и идеальные низкочастотные фильтры — в третьем. Однако нужные характеристики можно достаточно точно аппроксимировать приемлемыми по сложности реализуемыми схемами, и все три устройства используются практически. Демодулятор однополосных AM сигналов должен быть устройством, выделяющим синфазную компоненту узкополосного сигнала и полностью устраняющим квадратурную компоненту,

Рис. 4.10. Схема двухканального модулятора Вивера.

В качестве демодулятора обычно используется когерентный (синхронный) детектор, в котором опорный сигнал несущей частоты синфазен с несущим колебанием, используемым в модуляторе. Приходящий сигнал может иметь сдвиг фазы на угол как показано на рис. 4.11, На входе низкочастотного фильтра имеем:

Если не содержит частот выше а характеристика низкочастотного фильтра идеальная, т. е. обеспечивает отсечку при то второй член последнего выражения устраняется низкочастотным фильтром, и сигнал на выходе демодулятора имеет вид

При мы получаем желаемый сигнал. Фазовая ошибка опорного сигнала вносит так называемые квадратурные искажения, а также уменьшает амплитуду полезной компоненты. Подобные искажения могут возникать также за счет дисперсионности канала передачи.

Пример 4.6. Способность когерентного демодулятора устранять квадратурную компоненту позволяет применить однополосную AM для более эффективного (по сравнению с двухполосной) использования отведенной полосы частот. В такой схеме два независимых низкочастотных сигнала с половинной полосой применяются для раздельной модуляции синфазной и квадратурной компонент синусоидального несущего колебания.

Рис. 4.11. Когерентный демодулятор AM сигналов.

Получающийся сигнал

можно интерпретировать как наложение двух обычных AM сигналов одинаковой частоты, сдвинутых по фазе на 90°. Такой способ модуляции называется квадратурным. Демодулятор состоит из двух когерентных детекторов, подобных рис. 4.11, в которых опорные сигналы сдвинуты на 90°. Система в целом показана на рис. 4.12. На выходе демодулятора получаются сигналы:

Рис. 4.12. Система с квадратичной модуляцией.

Следовательно, если узкополосная передаточная функция симметрична относительно (без учета возможного сдвига фазы на 0 во всей полосе пропускания, который компенсируется выбором подходящей фазы опорных сигналов), то и перекрестные искажения сигналов отсутствуют. В других случаях образуются мешающие сигналы в первом канале и — во втором.

Упражнение 4.9. Рассмотрим полосовой фильтр с одной резонансной частотой. Передаточная функция такого фильтра приблизительно симметрична относительно средней частоты, причем увеличение добротности приводит к все более полной симметрии. Для обычного контура, показанного на рисунке, имееи

Выбрав в качестве «средней» частоты, оценить эквивалентные низкочастотные передаточные функции определяемые согласно (4.59) в области Нарисовать эти низкочастотные функции при различных значениях

Указание. Записав

где

определить симметричную и несимметричную части (относительно первого слагаемого.

Повторить расчет для четвертьволнового резонатора с распределенными постоянными, т. цепочки из ячеек, распределенных вдоль идеальной разомкнутой на конце линии передачи (без потерь) с характеристическим сопротивлением (см. рисунок). В этом случае