4. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ СИГНАЛОВ

4.1. НЕПРЕРЫВНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ

Представления сигналов, рассмотренные в предыдущих главах, называются дискретными потому, что каждый сигнал представляется счетной последовательностью величин. Основное преимущество дискретных представлений в том, что от них просто перейти к приближенным конечным представлениям, нужным для численных расчетов и при физических измерениях сигналов. Но в теоретических исследованиях, таких, например, как обсуждаемые в гл. 5 вопросы линейных преобразований, желательно иметь точное представление сигнала, с которым можно оперировать, не заботясь о допускаемой ошибке. Для

широких классов сигналов, таких, как точные дискретные представления получаются достаточно громоздкими и с трудом поддаются простым физическим истолкованиям из-за того, что применяемые полные ортонормальные системы сложны по своей природе; в большей или меньшей мере все они «надуманы». Подходящее, казалось бы, разложение по смещенным во времени функциям не является полным в при любой исходной функции Однако для практических сигналов ошибку приближения можно произвольно уменьшить, если выбрать Т достаточно малым. Мы приходим, естественно, к такому представлению сигнала, при котором параметр распределен непрерывно вдоль оси времени, а не в изолированных, равномерно расставленных точках.

Обобщение этой идеи непрерывного представления приводит к различным интегральным преобразованиям, формирующим соответствующие интегральные представления сигнала [1]. Термин «непрерывный» не обозначает в данном случае обычного понятия непрерывности отображения, а указывает на то, что множество параметров, характеризующих используемый в представлении базис, плотно.

Данная глава посвящена некоторым общим вопросам интегральных представлений, рассматриваемых на основе аналогии или обобщения дискретных представлений. Стремясь сделать такую аналогию полной, мы сталкиваемся с рядом математических трудностей. Но несмотря на эти трудности, такой подход дает глубокое понимание сущности проблемы на физическом уровне. В части математической строгости следует полагаться на специальные исследования применительно к конкретным интегральным преобразованиям [2]. Преобразования Фурье и Гильберта, широко используемые в теории сигналов, можно легко интерпретировать с рассматриваемой точки зрения. Действительно, вводные рассуждения по интегралам Фурье обычно базируются на рядах Фурье. Мысль о том, что многие интегральные преобразования можно просто исследовать путем непосредственного обобщения дискретных преобразований, оказывается весьма продуктивной и приводит к очень интересным результатам, которые обычно вполне применимы в практических приложениях.