Спектральная плотность мощности

Преобразование Фурье от автокорреляционной функции имеет большое значение для характеристики частотных свойств стационарных случайных процессов. Это преобразование Фурье называется спектральной плотностью мощности процесса, так как оно определяет долю общей мощности (среднего квадрата флюктуаций), связанную со спектральными компонентами в каждом интервале частот. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим фильтр того же типа, что на рис. 7.2, но физически нереализуемый, имеющий узкую полосу пропускания и среднюю частоту (рис. 7.3)

Подсчитаем средний квадрат процесса на выходе фильтра. Используя соотношение

получим

Подставляя (7.32) в (7.31) и (7.33), для достаточно узкой полосы находим

Итак, мы можем интерпретировать как функцию плотности, причем есть доля среднего квадрата процесса обусловленная частотными компонентами между и Определенная таким образом функция плотности содержит компоненты как при положительных, так и при отрицательных частотах. В случае вещественных процессов действительна и четна, следовательно, также

действительна и четна, т. е. структура спектра одинакова для положительной и для отрицательной полуосей.

Теперь поясним, почему мы связываем плотность с мощностью процесса х. Такая терминология удобна, но не всегда удачна. Во многих важных случаях можно принять, что стационарный процесс обладает также свойством эргодичности. Эргодический процесс — это такой стационарный процесс, для которого среднее по времени от квадрата любой реализации равно (с вероятностью 1) среднему квадрату процесса (при усреднении по ансамблю):

Рис. 7.3. Гипотетический фильтр для определения частотного состава стационарного процесса в узкой полосе вблизи

Выражение в левой части (7,35) представляет собой мощность детерминированного сигнала . В большинстве задач, рассматривающих случайные процессы, предположение эргодичности не используется. Но важным исключением являются задачи, связанные с использованием результатов измерения сигналов, ограниченных во времени, в качестве оценок спектральной плотности мощности [4]. Мы будем широко пользоваться термином «спектральная плотность мощности» применительно к произвольному стационарному в широком смысле процессу. Особым стацинарным процессом, часто используемым как приближенная модель реального процесса, является белый шум, характеризуемый постоянной спектральной плотностью мощности, т. е. Автокорреляционная функция этого процесса есть Поэтому различные отсчеты сколь бы они ни были близкими во времени, некоррелированы. Заметим, что средний квадрат такого процесса бесконечен.

Упражнение 7.1. Показать, что сечение функции неопределенности вдоль оси времени любого вещественного сигнала ограниченной энергии может быть автокорреляционной функцией вещественного случайного процесса с конечной дисперсией в нулевым средины.

Упражнение 7.2. Для стационарного в широком смысле процесса с конечным средним квадратом показать, что непрерывная функция .

Указание. Применить неравенство Шварца к скалярному произведению

Упражнение 7.3. Пусть вещественный стационарный ограниченный по полосе процесс [в том смысле, что для ]. Показать, что средний квадрат вариации ограничен величиной

Также показать, что

и что

Упражнение 7.4 Предположим, что на входе линейного фильтра с постоянными параметрами, имеющего импульсную реакцию действует стационарный в широком смысле процесс. Показать, что средний квадрат выходного процесса есть квадратичный функционал от . Написать соответствующий оператор и показать, что он самосопряжен и неотрицательно определен.

Упражнение 7.5. Для фильтра, представленного на рис. 7.2, показать, что

Упражнение 7.6. Предположим, что стационарный в широком смысле процесс подвергается линейному преобразованию (не обязательно инвариантному во времени), характеризуемому импульсной реакцией Выразить автокорреляционную функцию сигнала на выходе и кросс-корреляциониую функцию сигналов на входе и выходе как линейные преобразования входной автокорреляционной функции

Упражнение 7.7. При определении автокорреляционной функции комплексного стационарного в широком смысле процесса мы могли бы принять

Дать физическую интерпретацию преобразования Фурье от поясняющую необходимость определения автокорреляционной функции в виде (7.25).