10.6. УЗКОПОЛОСНЫЕ СИГНАЛЫ — НЕКОГЕРЕНТНОЕ ОБНАРУЖЕНИЕ

Как отмечалось в гл. 4 во многих физических системах используются узкополосные сигналы, спектр которых в той или иной мере удален от нулевой частоты. Такой сигнал получается при амплитудной модуляции несущего колебания частоты сигналом, максимальные частотные компоненты которого значительно меньше, чем (рис. 10.12).

Рис. 10.12. Узкополосный сигнал.

Рассмотренные методы обнаружения, конечно, применимы и к этим сигналам. Однако имеется существенная дополнительная трудность, вынуждающая проводить дальнейшие исследования. Эта трудность связана с неопределенностью фазы несущего колебания, неопределенностью, которая возникает следующим образом. Приемник максимального правдоподобия образует скалярное произведение

принятого сигнала и разностного сигнала Когда имеют высокочастотное заполнение, как на рис. 10.12, то время появления сигнала должно быть известно точно. Иначе величина , существенная для выбора наиболее правдоподобной гипотезы может значительно измениться. Мы можем продемонстрировать это следующим образом (см. упр. 4.8):

где — комплексные огибающие соответственно, а отличается от только сдвигом фазы на величину . Далее, если или сдвинуть по времени на величину существенно меньшую, чем то произведение изменится незначительно, но множитель может существенно измениться. Сдвиг по времени, равный полностью изменяет полярность сигнала на выходе приемника. Ясно, что погрешность определения времени должна составлять малую часть от не от как это потребовалось бы для низкочастотных сигналов. Практически может оказаться, что такая точность не выполнима. Тогда нужно применять другие методы обнаружения. Приемник, не использующий информацию о фазе несущей, называется некогерентным обнаружителем. Исследование такого приемника» основанное на критерии максимального правдоподобия, является предметом этого параграфа.

Пусть передаваемые сигналы подвергаются фазовым сдвигам и действию аддитивного белого гауссова шума с нулевым средним и спектральной плотностью На основе анализа принятого сигнала мы хотим сделать выбор между гипотезами

Но

где — сдвинутые по фазе передаваемые сигналы. Используя комплексные огибающие, можно переписать (10.81) в виде

Далее мы поступаем точно так же, как в предыдущей задаче обнаружения на фоне белого шума (см. § 10.4) и проектируем комплексные огибающие принятых сигналов на конечномерное (комплексное) подпространство натянутое на ортонормальную систему

Имеется простая зависимость между вещественной и мнимой частями комплексных скалярных произведений и соответствующих скалярных произведений для вещественных узкополосных сигналов. Эта зависимость часто используется далее, и мы ее здесь выпишем:

где вещественные узкополосные сигналы с комплексными огибающими — это сигнал сдвинутый по фазе на , т. е. (см. упр. 4.8.). Обозначая действительную и мнимую компоненты индексами и записываем

Используя (10.83) и учитывая, что нетрудно показать, что вещественная и мнимая части некоррелированы, и каждая из этих компонент имеет дисперсию . Далее, аналогично (10.30) функция правдоподобия для при условии, что справедлива гипотеза а фаза в фиксирована, получает выражение

Перегруппировав слагаемые в показателе (10.85), находим

где

Теперь мы будем рассматривать фазовый сдвиг как случайное возмущение, вносимое каналом. Можно также рассматривать его как случайный параметр передатчика, или как следствие неточной синхронизации опорного сигнала в приемнике. Если сдвиг есть случайный параметр канала, мы должны учесть его влияние на обнаружение, изменив функции правдоподобия для канала. Это должно быть выполнено с учетом закона распределения параметра его плотности вероятности, т. е.

Функции правдоподобия можно рассчитывать для различных законов распределения 6 [2]. Наиболее важный для практики случай, случай

некогерентности, дает равномерное распределение на отрезке . Другие законы распределения приводят к приемникам, называемым частично когерентными. С учетом равномерной плотности (10.87) принимает вид

Интеграл (10.88) выражается через модифицированную функцию Бесселя рода нулевого поряди . Повторив те же рассуждения для функции правдоподобия, при условии, что справедлива гипотеза получаем отношение правдоподобия

где — величины, соответствующие в (10.86), но в ко торых вместо и подставлены и Эти величины можно понимать как скалярные произведения в достаточно велико, так что содержит передаваемые сигналы а (Если базисные функции выбраны удачно» вполне достаточно

Следовательно,

Из этих соотношений видно, что некогерентный приемник максимального правдоподобия должен образовывать скалярные произведения принятых сигналов с эталонными сигналами, являющимися копиями передаваемых. Согласно (10.89) и (10.90) решающее правило имеет вид:

Решающее правило существенно упрощается в важном для бинарных систем связи случае, когда используются сигналы равной энергии, с одинаковыми априорными вероятностями и равными ценами ошибок.

Тогда , поскольку монотонная функция, решающее правило принимает форму:

Блок-схема приемника, использующая комплексные огибающие, показана на рис. 10.13. Чтобы выяснить реализацию такого приемника, воспользуемся соотношениями (10.83).

Рис. 10.13. Комплексное представление некогерентного приемника максимального правдоподобия для бинарного обнаружения сигналов равной энергии в белом шуме.

Следовательно,

Реализация с помощью умножителей, интеграторов и фазосдвигающих цепей квадратурных каналов, непосредственно вытекающая из (10.94), показана на рис. 10.14.

Схему с комплексными огибающими, показанную на рис. 10.13, можно реализовать также с помощью фильтра и отсчетного устройства, что предпочтительно с практической точки зрения, так как детектор огибающей реализовывается просто. Поскольку модуль комплексной огибающей есть амплитудная огибающая узкополосного сигнала [см. (4.40) и (4.46)], нужные величины можно снять с выхода детекторов, как в приемнике, показанном на рис. 10.15. Согласно (4.57) мы имеем

где — комплексная огибающая импульсной характеристики вещественного узкополосного фильтра. Импульсная характеристика узкополосного фильтра в верхнем канале схемы есть т. е. этот фильтр согласован с одним из передаваемых сигналов.

При выборе сигналов для бинарных систем связи разумно потребовать, чтобы разность принятых сигналов на выходе приемника в отсутствии шумов была максимальной. При разность выходных сигналов схемы (см. рис. 10,13) имеет вид

Ясно, что разность (10.96) будет максимальной при ортогональных комплексных огибающих, т. е. при . Этот результат существенно отличается от когерентного случая (см, § 10.4), где выходная разность максимальна при Сигналы, отличающиеся только знаком, непригодны для некогерентного приемника, так как при сдвиге фазы на 180° один сигнал будет совпадать с другим.

Рис. 10.14. Реализации приемника максимального правдоподобия с помощью умножителей и интеграторов.

Следует заметить, что из ортогональности сигналов не следует, что , хотя обратное верно. Ортогональные комплексные огибающие можно получить различными способами. В частности, такая ортогональность возможна при условии, что амплитуда сигнала по стоянна, т. е. только за счет фазовой модуляции. Это практически важно, поскольку энергия сигнала максимальна при полном использовании ликовой мощности лередатчика. Кроме того, при применении фазовой модуляции и ограничителей амплитуды в приемнике можно получить некоторый выигрыш в помехозащищенности по отношению к импульсным помехам.

Пример 10.1. Частотная манипуляция Существует простой способ получения ортогональных комплексных огибающих для узкополосных сигналов с постоянной амплитудой. Положим

В этом случае

Комплексные огибающие вида (10.97) получаются за счет положительного и отрицательного сдвига несущей частоты Подобная операция называется частотной манипуляцией. Как следует из (10.98) наименьшее значение при котором комплексные огибающие ортогональны, есть Передаточные функции согласованных фильтров при реализации приемника с помощью фильтров и отсчетных устройств показаны на рис. 10.16. В первом приближении можно считать, что приемник работает как частотный дискриминатор.

Рис. 10.5. Реализация приемника максимального правдоподобия с помощью фильтра и отсчетного устройства,

Чтобы вычислить характеристики приемника для случая ортогональных комплексных огибающих сигналов равной энергии, удобно в качестве базисных функций в взять сами нормированные сигналы, т. е. . Тогда Согласно (10.88) функция правдоподобия для гипотезы выражается через ортогональную проекцию на S принятого сигнала в виде

Переходя к полярным координатам

можно записать новую функцию правдоподобия для переменных пропорциональных напряжению на выходах верхнего и нижнего

каналов блок-схемы рис. 10.13. Согласно (10.99) и (10.100) эта функция правдоподобия имеет вид

В соответствии с (10.12) вероятность ошибки I рода (принять в случае, когда верна дается интегралом от функции правдоподобия по критической области

Рис. 10.16. Форма сигиа лов и частотные характеристики фильтров при частотной манипуляции.

Приемник выбирает гипотезу когда поэтому легко найти. Рис. 10.17 дает область в координатах Заметим, что сама плоскость есть двумерная часть четырехмерного пространства выходных сигналов

Подставляя (10.101) в (10.102), получаем

Интегрирование и в (10.103) легко выполняется, после этого находим

Или, после замены переменных по формулам

Интеграл (10.105) с переменным нижним пределом часто встречается в теории обнаружения сигналов [2, 5]. Этот интеграл называется -функцией Маркума, ее значения табулированы в [7]:

причем

Рис 10.17. Критическая область для некогерентного приемника максимального правдоподобия.

Рис. 10,18. Ошибки когерентного и некогерентного приемников (энергии сигналов равны): 1 — когерентный приемник, свгйалы противоположной полярностн ; 2 — когерентный приемник, ортогональные комплексные огибающие ; 3 — некогерентиый приемник, ортогональные комплексные огибающие .

В силу симметрии задачи, условная функция правдоподобия гипотезы имеет ту же самую форму (10.101), но с заменой на . Следовательно, в случае равновероятных сигналов Замечая, что находим простое выражение для вероятности ошибки

где — отношение сигнал/шум, т. е. отношение импульсной энергии сигнала к спектральной плотности шума, как в (10.57). Используя

(10.107), можно построить график вероятности ошибки и сравнить результаты со случаем когерентности по фазе (см. рис. 10.10). Так как характеристики некогерентного приемника рассчитываются при условии, что комплексные огибающие ортогональны, сначала мы проведем сравнение в предположении, что и в когерентном случае используются ортогональные сигналы, В этом случае , где определяется для когерентного случая согласно (10.107). График вероятности ошибок показан на рис. 10.18. При больших отношениях сигнал/шум эквивалентное увеличение шума, обусловленное случайностью фазы, незначительно. Для вероятности ошибки порядка 10-7, ухудшение составляет лишь 0,6 дб. Мы видим, что при больших отношениях сигнал/шум основная доля потерь (примерно 3 дб) связана с использованием ортогональных сигналов вместо сигналов противоположной полярности.

В задачах радио- и звуколокации особенно важен случай, когда . В этом случае согласно (10,89) отношение правдоподобия имеет вид

В силу монотонности сравнение отношения правдоподобия с порогом эквивалентно сравнению с порогом величины и решающее правило имеет вид:

где определяется из уравнения

Приемник имеет ту же структуру, что и ранее (см. рис. 10.13-10,15), с той разницей, что нижний канал отсутствует и на выходе устанавливается порог, определяемый либо с учетом цен и априорных вероятностей, либо из условия заданной вероятности ложных тревог. Выражения для характеристик приемника не так просты, как для бинарных сигналов равной энергии (см. упражнение 10.7).

Рабочие характеристики приемника, полученные с использованием значений -функций, имеются в работах [21, [5].

Упражнение 10.6. Показать, что в (10.84) вещественная и мнимая части коэффициентов комплексного шума некоррелированы, т. е.

и что каждая компонента имеет дисперсию .

Упражнение 10.7. Для задачи обнаружения и порогового уровня определяемого из (10.109), показать, что

где определена согласно (10.106).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

(см. скан)