Межсимвольные искажения

Несколько иные задачи неопределенности возникают в связи с синтезом сигналов для систем связи, в которых информация содержится в амплитудах импульсов. Информация извлекается из принятого сигнала

в виде отсчетов, взятых в определенные моменты времени при этом получаются оценки для истинных значений амплитуд

Последняя сумма в (6.114) характеризует погрешность за счет межсимвольных искажений, так как она обусловлена соседними импульсами. Чтобы эти искажения были малыми, нужно взять импульсы достаточно узкими, так что все значения при будут достаточно малыми. При наличии ограничений на ширину полосы сигнала может показаться, что в данном случае подходит решение

предыдущей задачи, где минимизировалась энергия, содержащаяся вне заданного временного интервала, при условии, что энергия за пределами некоторой полосы частот не превосходит нужного уровня. Но, поскольку оптимальный импульс, полученный в предыдущей задаче, асимптотически убывает как можно построить такую длинную последовательность импульсов, которая дает произвольно большие межсимвольные искажения в некоторый момент времени. Чтобы исключить такой эффект, нужно увеличить скорость спадания «хвостов» одиночного импульса за счет подходящей весовой функции во временной области, например, положив . В соответствии со сказанным, мы формулируем новую задачу, выбирая

Рис. 6.11. Импульсы с минимальным вторым моментом при заданной внеполосной энергии.

Требуется найти форму импульса с заданной долей энергии вне полосы имеющего минимальный второй момент.

Необходимое условие (6.96) сводится здесь к простому дифференциальному уравнению второго порядка в частотной области

Решение (6.116), удовлетворяющее граничным условиям которые необходимы, чтобы все функционалы были ограниченными, имеет вид

Константы: определяются подстановкой (6.117) в фуню ционалы и минимизацией при условиях

Это приводит к соотношениям

В частности, для получается т. е. преобразование Фурье от импульса с ограниченной полосой и минимальным вторым моментом имеет вид «пол у косинусоиды». Сам импульс (функция времени) состоит из двух сигналов вида раздвинутых на сек. Как видно из рис. 6.11, сравнительно небольшое увеличение допустимой внеполосной энергии приводит к заметному укорочению и уменьшению величины «хвостов» оптимальных импульсов.