1.3. ОТОБРАЖЕНИЯ И ФУНКЦИОНАЛЫ

В предыдущем параграфе мы ввели с помощью отношений эквивалентности непересекающиеся множества для описания свойств сигналов. Другой возможный и существенно более общий способ установления отношения между элементами состоит в отображении элементов одного множества на элементы другого множества. Отображение — это правило, по которому элементам одного множества, скажем ставятся в соответствие элементы другого множества, скажем Символически отображение обозначается как что является компактной формой следующего выражения:

Элемент у в называется образом х при отображении Множество является областью определения отображения а входящее в множество всех образов элементов из является областью изобращний. Если область изображений совпадает с то говорят, что есть отображение на Если же в содержатся элементы, которые не являются изображениями элементов то говорят об отображении в Отображение всегда однозначно в том смысле, что для каждого элемента существует только один образ (по определению) Если различным

элементам из соответствуют различные изображения в то отображение взаимно-однозначно. Если отображение взаимно-однозначно и является отображением типа на, то можно говорить об отображении на где — обратное отображение. В этом случае существует взаимно-однозначное соответствие между элементами

Часто удобно применять составные отображения, которые получаются в результате двух или нескольких последовательных отображений. На рис. 1.8 показано отображение полученное посредством двух отображений: этом случае мы пишем что означает для всех

Рис. 1.8. Составное отображение, состоящее из двух отображений.

Чтобы проиллюстрировать идею составного отображения, представим преобразование, производимое устройством примера 1.4, в виде двух отображений:

1) отображение множества задаваемого отношением эквивалентности (1.15),

причем

2) отображения множеств эквивалентности в числовые значения

причем

Результирующее отображение есть просто

Здесь мы использовали тот факт, что отношение эквивалентности (1.12) можно интерпретировать как преобразование (в общем случае, не взаимно-однозначное) элементов в их множества эквивалентности

(1.13). Другими словами, любое отношение эквивалентности может быть выражено как отображение такое, что

Вероятно, более интересен тот факт, что любое отображение порождает отношение эквивалентности. Для произвольного отображения имеет место отношение эквивалентности

Например, пусть есть отображение вида

Рис. 1.9. Отображение сигналов в действительные числа

Тогда мы имеем отображение множества сигналов на действительную положительную полуось в соответствии с их энергией, как показано на рис. 1.9. Отношение эквивалентности, соответствующее разбивает на подмножества сигналов с равной энергией.

Преобразование Фурье

Преобразование Фурье является отображением, широко применяемым в теории сигналов. Если — множество сигналов с ограниченной энергией

то преобразование Фурье — есть отображение в другое множество функций с интегрируемым квадратом

Отображение задается следующим образом:

Строго говоря; это отображение не взаимно-однозначное. Могут существовать две или более функций времени, таких, как показано на рис. 1.10, для которых преобразование Фурье одинаково.

Рис. 1.10. Две функции времени, имеющие одно и то же преобразование Фурье.

Ясно, что — это отображение «многих в одно». Множество эквивалентности, определяемое преобразованием , содержит функции времени, отличающиеся лишь на конечном множестве точек в любом интервале времени. Такие разрывные сигналы не имеют практического значения, и мы вправе рассматривать каждое множество эквивалентности как один сигнал. Эта эквивалентность означает равенство почти всюду, и мы не будем различать сигналы и соответствующие им множества эквивалентности, определяемые равенством «почти всюду». Исходя из этого, можно считать взаимно-однозначным отображением «на».

Обратное отображение задается соотношением

Соотношения (1.28) и (1.29), взятые вместе, называются парой преобразований Фурье,

Упражнение 1.4. Показать, что для любого отображения соотношение (1.27) действительно описывает отношение эквивалентности, причем множества эквивалентности задаются в виде

Упражнение 1.5. Рассмотреть множества эквивалентности, соответствующие отображению задаваемому как Показать на частных примерах, что в противоположность отображению (1.28) элементы множества эквивалентности могут быть существенно различными.

Указание: это преобразования Фурье элементов из одного множества эквивалентности, причем произвольная фаза.

Упражнение 1.6. Показать, что для произвольного сигнала с ограниченной энергией справедливо тождество

Функционалы

Преобразование достаточно общих множеств сигналов в числовые значения особенно важно потому, что физические измерения сигналов дают некоторые их числовые характеристики. Отображение произвольного множества в множество чисел часто называют функцией.

Рис. 1,11. Разложение сигнала по смещенным во времени базисным функциям.

Но в наших приложениях исходными элементами часто являются функции в обычном смысле (т. е. отображения одного множества чисел в другое множество чисел, например: функции времени, функции частоты и т. д.). Во избежание недоразумений мы будем, как принято, называть отображения множества обычных функций в Числовые значения функционалами. Таким образом, под функционалом понимают «функцию от функции».

Здесь нужно уточнить, что мы понимаем под числами. Разумно было бы использовать только множество действительных чисел однако для удобства анализа мы расширяем это множество, включив в него множество комплексных чисел С, хотя это не имеет прямой связи с физическими измерениями. Мы возвратимся к «реальному», заметив, что каждому комплексному числу могут быть сопоставлены два вещественных числа. Имея это в виду, приведем несколько типичных функционалов:

Не случайно все приведенные функционалы выражаются интегралами; такая форма функционала наиболее удобна и применяется даже тогда, когда содержит особые (обобщенные) функции, такие, как -функция в и требующие специального определения, чтобы функционал имел смысл.

Представление рядами

В дальнейшем нам понадобятся (см. гл. 3) приближенные представления сигналов в виде рядов, которые можно рассматривать как счетную последовательность функционалов

здеь — заданное множество сигналов, выбранных независимо от аппроксимируемого сигнала Знак указывает на то, что ряд дает приближенное представление.

В качестве известного примера рассмотрим представление произвольного сигнала временным рядом, т. е. его разложение по функциям, представляющим собой некоторый импульс при разных его смещениях по оси времени. Импульс называется интерполирующим, если он удовлетворяет условиям для , как показано на рис. 1.11.

Разложение по таким функциям достаточно наглядно: в (1.31) есть значения сигнала в моменты времени т. е.

и

Ясно, что такое представление дает точное равенство в моменты , если изменяется не слишком быстро (или, если достаточно мало), то при подходящем интерполирующем импульсе ошибка интерполяции рядом на участках между отсчетами получается допустимой.

Значительно более сильное утверждение справедливо для сигналов с ограниченной полосой, т. е. принадлежащих множеству Согласно известной теореме отсчетов [1.21 для любого к и любого мы имеем

Если выборки сигнала с конечной полосой берутся через интервал как в (1.34), то говорят, что выборки делаются с частотой Найквиста. В этом случае сигнал имеет единственное и точное представление рядом с интерполирующим импульсом, указанным в (1.34).

Другим хорошо известным способом представления сигналов рядом, пригодным для периодических сигналов и сигналов конечной длительности, является разложение в ряд Фурье. Если см. (1.6), то мы имеем

где коэффициенты разложения определяются функционалами

Дуальность времени и частоты

В качестве последнего замечания об отображениях и функционалах напомним о взаимно-однозначном соответствии множества функций с интегрируемым квадратом и их преобразований Фурье; отметим также существенно симметричную природу прямого и обратного преобразования Фурье. Вследствие этого, каждому отношению временных функций соответствует дуальное отношение для их Фурье-преобразований.

Это свойство частотно-временной дуальности проявляемое функциями времени и их преобразованиями Фурье, часто используется в теории сигналов; в последующих главах будут даны примеры. При решении любой задачи из хеории сигналов мы всегда получаем также решение дуальной задачи, которая может иметь или не иметь практического значения.

Простой пример результатов, получаемых таким образом, дает рассмотрение разложения сигнала во временной ряд и ряд Фурье. Из (1.35) и (1.36) мы получаем дуальное соотношение

В то же время дуальным к (1.34) является

где

Упражнение 1.7, Рассмотреть различные возможности интерпретации выражения «приблизительно равно» как отношения эквивалентности. Использовано ли очевидное отношение эквивалентности в Если да, то опишите соответствующее множество эквивалентности.

Упражнение 18. Найти преобразоване Фурье от

Упражнение 1.9, Используя теорему отсчетов (1.34), показать, что сигналы из множества периодических сигналов с ограниченной полосой можно точно представить конечный множеством функционалов. В частности, если Т — период не содержит частот выше то

где

Указание, Рассматривая разложение во временной ряд и в ряд Фурье, мы имеем:

и

Объединение этих выражений и последующие преобразования приводят к желаемому результату.

Упражнение 1.10. Доказать теорему отсчетов (1-34) для случая сигналов с конечной энергией и ограниченной полосой.

Указание. Рассмотреть разложение в ряд Фурье преобразования Фурье. Упражнение 111. Рассмотреть отображение которое отображает реальные сигналы в бесконечную последовательность вещественных чисел согласно правилу;

Известно полезное соотношение, содержащее преобразование Фурье пары элементов из множества эквивалентности, получаемого с помощью этого отображения, Показать, что если х и у — элементы одного множества эквивалентности, т. е. если у них равны отсчетные значения, то

Показать далее, что, если х имеет следующие отсчетные значения: для т. е. если х удовлетворяет условиям, налагаемым на интерполирующий импульс, то

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

(см. скан)