6.2. КВАДРАТИЧНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ

Квадратичный функционал образуется из билинейного функционала, который отображает пару сигналов х и у в числовую величину и обладает следующими свойствами:

Например, скалярное произведение является билинейным функционалом. В случае вещественного пространства линейно зависит от обоих аргументов х и у. Билинейный функционал называется

ограниченным, если можно указать такое вещественное число что для любых х и у

Наибольшая нижняя грань К есть норма функционала

Заметим, что есть также билинейный функционал от х и у. Далее можно показать, что любой ограниченный билинейный функционал может быть записан в такой форме, и что

где норма линейного оператора А, определенная согласно (5.8).

Определим квадратичный функционал от аргумента х, просто заменив у на

Непрерывность ограниченного квадратичного функционала нетрудно доказать, используя (6.9):

так что для любого можно найти такое , что

Из изложенного ясна близкая аналогия между квадратичными и линейными функционалами. Ранее мы показали, что линейные функционалы образуют линейное пространство (сопряженное пространство), и что каждому элементу этого пространства соответствует вектор у, такой, что Аналогичная ситуация имеет место для квадратичных функционалов: каждому функционалу соответствует линейный оператор А, такой, что Поскольку, как мы знаем, линейные операторы образуют нормированное линейное пространство, не удивительно, что квадратичные функционалы также образуют нормированное линейное пространство, причем согласно (6.12) это пространство изометрично пространству линейных операторов.

Чрезвычайно полезно в дальнейшем понятие сопряженного оператора (5.93). Если А есть линейный оператор, то ясно, что есть билинейный функционал. Если далее при любых х и у

то, по определению, А есть оператор, сопряженный с . Сопряженный оператор легко получить из любого представления оператора. Пусть А представлен ядром во временной области Тогда

Изменив порядок интегрирования в (6.16), находим, что ядро сопряженного оператора имеет вид

Если говорят, что — самосопряженный оператор. Его называют также эрмитовым (или симметричным, если — вещественный оператор). Более широкий класс, включающий самосопряженные операторы, есть класс нормальных операторов, которые коммутативны со своими сопряженными операторами

Нормальные операторы обладают свойством

так как

Оператор называется положительно определенным, если

Например, положительно определенный, если оператор Л неособенный, так как

Линейное преобразование функции — аргумента квадратичного функционала просто выполнить с помощью сопряженного оператора. Пусть тогда

так что оператор определяет тот же квадартнчный функционал, но с аргументом у вместо х.

Унитарный оператор — это оператор, обладающий следующим свойством:

Это означает, что Для нас важно заметить, что преобразование Фурье есть унитарное преобразование:

где ядро

соответствует тождественному оператору. Из (6.22) мы снова получаем равенство Парсееадя (4.14):

Применяя (6.20) и (6.22), можно путем подходящих преобразований операторов выразить заданный квадратичный функционал как во временной, так и в частотной области. Если

то

Уравнения (6.24) удобны для перехода из временной области в частотную и обратно при описании свойств сигналов. Нужно помнить, однако, что скалярные произведения в (6.23), (6.24) предполагают интервал интегрирования в каждой из областей. В задачах, где пределы полубесконечны или конечны, можно сохранять простую форму соотношений (6.23) и (6.24), если использовать бесконечные интервалы, но применить соответствующие видоизменения операторов с тем, чтобы расчет в действительности выполнялся в ограниченном интервале. Этот метод мы применим в ряде дальнейших примеров.

В заключение отметим, что операторы в (6.24) имеют много общих свойств. Действительно, все описанные выше свойства (самосопряженность, нормальность, унитарность, положительная определенность) справедливы для одного из этих операторов в том и только в том случае, если они справедливы и для другого. Эта общность вытекает из унтитарного характера преобразования Фурье и связи между операторами называемой преобразованием подобия.