5.4 ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ОПЕРАТОРОВ, ДЕЙСТВУЮЩИХ В ПРОСТРАНСТВЕ L2(T)

Рассмотренные представления удобны для конкретных преобразований, но если мы попытаемся применить для описания линейного преобразования вообще, рассматривая его как один из элементов множества линейных преобразований, то здесь мы столкнемся с серьезными трудностями. Эти трудности связаны не столько с тем, что мы ограничили число измерений пространства входов» сколько с тем, что области значений могут быть существенно различными для разных преобразований. Класс преобразований, для котсцюго все эти области содержатся в некотором одном -мерном пространстве выходов, слишком узок и потому не представляет большого интереса. С другой стороны, класс ограниченных линейных преобразований, определенных на всем пространстве включает большую часть преобразований сигналов, представляющих интерес для практики. Заметим, что ограниченное линейное преобразование, определенное на всегда является линейным оператором, поскольку согласно (5.6) отображения ограниченных сигналов ограничены. С физической

точки зрения условие ограниченности оператора указывает лишь на необходимую устойчивость реализующей данное преобразование системы в том смысле, что сигналу с ограниченной энергией на входе соответствует выходной сигнал также с ограниченной энергией.

С аналитической точки зрения линейные операторы, действующие в , удобнее всего представлять по отношению к непрерывным базисам, описанным в

В соответствии с этим, входные и выходные сигналы и могут быть представлены функциями и соответственно по отношению к базисному ядру

Для оператора имеем

где — есть функция, полученная в результате воздействия оператора X на рассматриваемую как функцию при фиксированном параметре Как уже упоминалось в гл. 4, функция может не принадлежать

Из имеем

Комбинируя (5.24) и (5,25), получаем

где

Аналогия между (5.27) и соотношением (5.20) для дискретного случая очевидна. Дискретные переменные и в (5.20) заменены непрерывными переменными и о в (5.27), а представления для входных и выходных сигналов по отношению к базису получены интегральными преобразованиями. Интегральное преобразование и, следовательно, оператор, характеризуется ядром , аналогичным матрице в (5.22). Из (5.27) мы видим также, что ядро полностью описывается набором откликов на базисные синалы рассматриваемые при всех значениях параметра (рис. 5.3).

В качестве конкретного примера рассмотрим вначале часто используемый базис при . В этом случае мы имеем просто . Реакция на базисные сигналы есть импульсная реакция цепи. Как функция импульсная реакция есть отклик на входной импульс, приложенный в момент времени Из (5.27) имеем

Следовательно, один из способов характеризовать отношение вход—выход состоит в использовании в качестве ядра импульсной реакции

Другим часто используемым базисом является причем . Такой базис приводит к частотному представлению сигналов и операторов. Здесь и причем X и Y — преобразования Фурье от х и у. Применяя импульсную реакцию цепи, находим отклик на базисные сигналы Согласно (5,29)

Рис. 5.3. Свойства линейного преобразования сигнала. Следовательно, из (5.26) и (5.27)

где

Смешанный базис

Для некоторых применений полезно представлять входные и выходные сигналы относительно разных базисов. Если — базис для входных сигналов, — для выходных, то, действуя аналогично предыдущему, найдем

где

и

Для анализа систем с изменяющимися во времени параметрами бывает полезным частотное описание входных сигналов и временное описание выходных

Тогда, используя (5.32), получаем

где выражается через импульсную реакцию следующим образом:

Способ, дуальный описанному выше, может служить другим полезным примером [7] представления оператора по отношению к смешанному базису; в этом случае и тогда

где

Классификация операторов

Основные свойства линейных систем отражаются в структуре функциональных ядер представляющих операторы. Свойства ядер удобны для классификации операторов Ниже указаны, некоторые часто встречающиеся классы. Мы предполагаем, что область определения операторов есть .

Операторы, инвариантные во времени. Для элементов многих физических систем характерно, что выполняемые ими преобразования не зависят от времени прихода сигнала. Независимость от времени есть инвариантность преобразования по отношению к временным сдвигам в том смысле, что для любого х и любого если то

Оператор инвариантен во времени тогда и только тогда, когда импульсная реакция зависит только от разности аргументов Такую импульсную реакцию обычно записывают как или, еще чаще, просто подразумевая, что сигнал поступает на вход в момент Согласно (5.29) оператср приобретает форму

т. е. у есть свертка Них; свертку часто обозначают символически так: Изменив переменную интегрирования в (5.37), получим другую запись преобразования

где Мы пришли к обычному описанию сигнала, получаемого в результате операции сканирования. Если пространственно распределенный сигнал х, например, оптическое изображение считывается сканирующим устройством, причем перемещение сканирующего «окна» происходит с постоянной

скоростью, то выходной сигнал как функция времени соответствует выражению (5.38), где есть аппаратная функция «окна». Сканирование часто используется в различных системах обработки, и важно помнить, что эта операция эквивалентна фильтрации (инвариантной во времени).

Частотное описание инвариантного во времени оператора особенно удобно. В этом случае (5.31) принимает вид

и, следовательно,

Функция называется передаточной функцией инвариантной во времени цепи.

Используя аппаратную функцию операции сканирования, можно записать также

Другое важное свойство инвариантных во времени операторов состоит в том, что их произведение (5.10) коммутативно. Это следует из того факта, что передаточная функция каскадного соединения инвариантных во времени блоков есть обычное (коммутативное) произведение их передаточных функций, следовательно» порядок включения блоков не имеет значения.

Тождественный оператор. Тождественный оператор 3 описывается уравнением для всех х. Ясно, что это инвариантный во времени оператор и его импульсная реакция Соответствующая передаточная функция

Оператор задержки. Близким к тождественному и практически важным оператором (поскольку он реализуется с помощью линии задержки с распределенными параметрами) является оператор задержки, отображающей Соответствующая ему импульсная реакция есть и передаточная функция имеет вид

Оператор стробнровання (умножитель). Многие физические устройства (модуляторы, строб-каскады и т. осуществляют преобразование вида

Ясно, что этот оператор не инвариантен во времени (кроме тех случаев, когда — константа, т. е. производится просто умножение на число). Импульсную реакцию оператора стробирования можно записать в виде

или, эквивалентно,

В частотной записи, используя (5.31), получаем

Следовательно, в частотном представлении рассматриваемая операция характеризуется интегралом свертки

Физически реализуемые операторы. На операторы описывающие физически реализуемые устройства, наложено существенное ограничение; они должны быть неупреждающими, или каузальными. Это условие легко выразить через импульсную реакцию. Из (5.29) мы видим, что если выходной сигнал должен зависеть только от предыдущих значений входного сигнала, то необходимое и достаточное условие, налагаемое на импульсную реакцию, есть

Это ограничение часто вводят в запись самой операции:

не оговаривая условие на функцию Но обычно удобнее, не изменяя пределы интегрирования, оговорить дополнительное условие, которому должна удовлетворять импульсная реакция. Мы запишем такое условие в виде

где

Оператор дифференцирования конечного порядка. Характеристики передачи многих физических систем могут быть приближенно описаны дифференциальными уравнениями конечного порядка. Обычно при анализе линейных систем их приближенно представляют цепями с сосредоточенными параметрами. Методы построения дифференциальных уравнений для таких цепей хорошо известны. Известно также [8], что для дифференциального уравнения

где — непрерывные функции; соответствующая импульсная реакция есть

Если коэффициенты уравнения постоянны, то параметры системы не зависят от времени. Кроме тех частных случаев, когда полином

имеет кратные корни, импульсная реакция получает выражение

где — корни уравнения Передаточная функция для такого инвариантного во времени оператора есть рациональная функция частоты

или, что эквивалентно,

где полином в числителе имеет вид

Вырожденный оператор. Операторы, действующие в область значений которых конечномерна, т. е. имеющие конечный ранг, называются вырожденными. Функциональное ядро вырожденного оператора обладает свойством разделимости» что очень удобно для приближенного представления и численного решения операторных уравнений. Импульсная реакция вырожденного оператора порядка имеет вид

где есть линейно-независимые системы функций в Отображение х, получаемое с помощью такого оператора, выражается через линейных функционалов:

Сходство импульсной реакции (5.52) с импульсной реакцией системы конечного порядка (5.49) обманчиво, так как система конечного порядка в общем случае не является вырожденной из-за различия в поведении для

Упражнение 5.5. Получить выражение для импульсной реакции последовательно примененных инвариантного во времени оператора и оператора стробирования (для обоих случаев их взаимного расположения). Найти для этих двух случаев ядро в частотной записи (5.31), а также ядра в частотно-временной записи (5.34) и (5.36) соответственно.

Упражнение 5,6. Записать ядро для вырожденного оператора с импульсной реакцией (5.52). Показать, что разделимость сохраняется при любом выборе пары базисных ядер для пространства входов и пространства выходов соответственно.

Упражнение 5.7. Описать область значений и нуль-пространство для вырожденного оператора с ядром (5.52).