8.7. ПРОЦЕССЫ, СВЯЗАННЫЕ С ПУАССОНОВСКИМИ

В противоположность более или менее синхронизированным сигналам, описанным в предыдущих разделах, мы часто имеем дело с процессами, где известна лишь средняя частота импульсов. В случаях, когда момент появления импульса совершенно случаен, при разработке модели может оказаться очень полезным пуассоновский процесс. Пуассоновский процесс — частный случай счетного процесса, т. е. целочисленного процесса с единичными приращениями. Типичная реализация счетного процесса показана на рис. 8.11.

Рис. 8.11. Типичная реализация пуассоновского счетного процесса

Процесс этого типа можно описать случайной последовательностью точек вдоль временной оси

где — единичная функция включения Таким образом, случайное значение эквивалентно числу точек включения между Процесс может быть охарактеризован вероятностью события для каждого и Итак, мы определяем

Хотя исследованы более общие формы пуассоновских процессов [1], мы рассмотрим только частный случай удовлетворяющий следующим условиям:

Условие а) в (8.79) означает стационарность элементарных событий, т. е. вероятность некоторого числа событий в данном интервале зависит только от протяженности интервала и не зависит от его положения на временной оси. Это условие также означает, что число событий в неперекрывающихся интервалах времени представляет собой статистически независимые величины. Условия б) и в) указывают, что если интервал достаточно мал, то вероятность единичного включения пропорциональна длине интервала, а событие, состоящее в появлении двух или более включений на этом интервале, можно считать невозможным. Из этих условий можно получить выражение для которое зависит только от и параметра X.

Для получения такого выражения заметим, что

Заменим в на тогда, поскольку для малых мы имеем для принимает вид

или

Полагая в получаем дифференциальное уравнение первого порядка для

С учетом начального условия находим далее

В случае есть однородное уравнение с начальным условием поэтому

Наконец, из (8.83) и (8.84) получаем по индукции

Параметр Я называется частотой, или интенсивностью, процесса, так как эта величина равна среднему числу элементарных событий (включений) в единичном интервале. Покажем это. Пусть Т — произвольный интервал, тогда

При разработке моделей сигнальных процессов мы будем использовать последовательность случайных величин различными способами. Будем говорить, что распределены по закону Пуассона с параметром . При вычислении среднего значения и автокорреляции процесса нам понадобится плотнссть вероятности ряда случайных величин. Плотность вероятности величины определяется через вероятность того, что точка включения попадает в достаточно малый интервал А около некоторого

Итак, мы имеем

Нам также понадобится совместная плотность вероятности для двух точек Аналогичным образом получаем (предполагая

Окончательно,

Упражнение 8.8. Для счетного процесса, задаваемого (8.77), вычислить среднее значение и автокорреляцию предполагая, что единичные включения распределены по пуассоновскому закону с параметром .

Случайный фототелеграфный сигнал

Фототелеграфный сигнал получается при оптическом сканировании по черно-белому изображению с постоянной скоростью. Для изображения случайной структуры выходной процесс будет принимать лишь два значения, скажем для черных и для белых элементов, причем длительность интервала между соседними переходами с черного на белое и с белого на черное будет

случайной величиной. Обычно процесс имеет в среднем заметное смещение либо к черному или к белому цвету. Мы построим модель этого процесса следующим образом. Пусть упорядоченная последовательность случайных величин, распределенных на вещественной оси по пуассоновскому закону с параметром X. Здесь мы снимаем ограничение, использованное в (8.77), что точки лежат на положительной полуоси.

Это не вызывает затруднений, поскольку в силу стационарности процесса начало отсчета можно выбрать произвольно. Мы принимаем далее, что в интервале между соседними точками х есть константа, равная 0 или 1 с вероятностью или соответственно. Значения х в различных интервалах статистически независимы. Это дает нам модель случайного фототелеграфного сигнала, который характеризуется только двумя параметрами . Типичная реализация показана на рис. 8.12.

Рис. 8.12. Типичная реализация случайного фототелеграфного сигнала. Последовательность распределена по, пуассоновскому закону с параметром X.

Для произвольного среднее значение процесса имеет значение

Среднее значение постоянно и не зависит от Автокорреляционная функция

Величина совместной вероятности в (8.90) зависит от того, находится ли и в одном и том же промежутке или в разных:

Вероятность того, что и находятся в одном промежутке, есть просто независимо от Используя (8.84) и (8.91), приводим (8.90) к виду

Ясно, что процесс стационарен в широком смысле; спектральная плотность процесса

Показана на рис. 8.13. Очевидно, что X можно трактовать как ширину полосы процесса.

Вместо процесса, имеющего два уровня, можно разрешить х принимать любое вещественное значение между 0 и 1 (серые уровни) в соответствеии с некоторой плотностью вероятности. Автокорреляционная функция такого процесса имеет форму, совпадающую с (8.92) (см. упражнение 8.10). Эта модель полезна для представления телевизионного сигнала [8]. Другой процесс, часто называемый случайным телеграфным сигналом [1,3], образуется, когда переходы от 0 к 1 происходят в любых случайных точках оси времени. Этот процесс эквивалентен случайному фототелеграфному сигналу при и величине X, увеличенной в два раза.

Рис. 8.13. Спектральная плотность мощности для случайного фототелеграфного сигнала.

Упражнение 8.9. Для случайного фототелеграфного сигнала вычислить средний временной промежуток между переходами с черного на белое и с белого на черное. Вычислить также среднюю частоту переходов.

Упражнение 8.10. Для случайного фототелеграфного сигнала, обобщенного на большее число уровней, положим, что где — последовательность статистически независимых случайных величин с плотностью распределения Этот процесс называется случайной функцией скачков [11]. Вычислить среднее значение и автокорреляцию для х.

Упражнение 8.11. В случайной функции скачков, описанной в упражнении 8.10, часто можно принять, что последовательность представляют собой марковский в широком смысле процесс (как в упражнении 8.7), а не статистически независимую последовательность. Показать, что по отношению к среднему значению и автокорреляции такое изменение эквивалентно изменению параметра

. Пусть — новое значение параметра для эквивалентной случайной функции скачков с независимыми уровнями, найти связь между .

Случайная последовательность импульсов

В качестве более общего приложения пуауссоновского процесса рассмотрим модель сигнала в виде последовательности импульсов произвольной формы со случайными амплитудами и случайными моментами прихода:

где стационарная последовательность, статистически независимая от последовательности значений которые упорядочены и распределены по пуассоновскому закону с параметром Мы исключили в (8.94) член с что подробнее обсуждается ниже. Чтобы вычислить среднее значение и автокорреляцию для процесса х, выбираем некоторое значение , а затем пронумеруем в реализации так, что — первая точка справа от и первая точка слева от как показано на рис. 8.14.

На первый взгляд это может показаться странным, но длина интервала между и статистически отлична от длины всех других интервалов между импульсами последовательности. Причина этого в том, что интервал строится так, чтобы включить точку в то время как для других интервалов такой необходимости нет.

Рис. 8.14. Типичная реализация случайной последовательности, иллюстрирующая нумерацию импульсов.

Плотность вероятности для отрезка времени от любой точки временной оси до точки появления следующего случайного импульса задается выражением , Поэтому, если положить и определить случайную переменную , то имеют одинаковые распределения для всех (включая нуль). Учитывая сказанное, можно переписать (8.94) более точно:

Другой корректный способ рассмотрения заключается в том, чтобы принять произвольную точку за начало отсчета времени, тогда случайные величины для для соответствуют плотностям распределения (8.87) и (8.88). С учетом (8.95) можем написать

Для вычисления автокорреляционной функции предположим, что статистически независимы, так что

Тогда имеем

Сумма в (8.98) вычисляется путем отдельного рассмотрения членов, для которых

После некоторых преобразований получается простой результат:

где

В заключение отметим эквивалентность этого процесса и того из процессов, описанных в § 8,2, для которого моменты появления импульсов независимы и равномерно распределены на временной оси [см. уравнения (8.10) и (8.11)].

Упражнение 8.12. Проделать лреобразования, опущенные при выводе (8.99).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

(см. скан)