6.8. ПРИБЛИЖЕННОЕ ЧИСЛО ИЗМЕРЕНИЙ ПРОСТРАНСТВА СИГНАЛОВ

К проблеме неопределенности непосредственно примыкает вопрос о возможном разбиении сигналов на классы, исходя из ограничений, наложенных на их длительность и ширину полосы. Более конкретно - мы постараемся определить такой базис конечномерного подпространства, который позволяет получить представления всех сигналов из некоторого ограниченного класса. Предположим, мы можем классифицировать сигналы с помощью линейных операторов А. Класс сигналов задается при этом так:

Очевидно, классы, соответствующие некоторым операторам, нельзя считать конечномерными ни в каком смысле. Рассмотрим, например, тождественный оператор; для любого конечномерного подпространства всегда можно найти ортогональный этому подпространству. С другой стороны, широкий класс операторов порождает сигналы, близкие к конечномерному подпространству в том смысле, что

где может быть сделано сколь угодно малым при конечном Это компактные операторы, обсуждавшиеся в § 5.5.

Пусть — ортонормальный базис для интересующего нас подпространства; тогда мы, естественно, должны выбрать в (6.130), чтобы минимизировать норму ошибки для каждого конкретного у. После того, как это сделано, расстояние между у и его ортогональной проекцией на подпространство будет иметь вид

Теперь будем искать такой базис который минимизирует максимум величины при Это эквивалентно задаче аппроксимации оператора вырожденным оператором порядка), поскольку

где

и

причем согласно (6.131) мы положили:

Теперь предположим, что оператор имеет дискретное спектральное представление вида

где — ортонормализованные собственные функции и собственные значения оператора Поскольку —

неотрицательно определенный самосопряженный оператор, его собственные значения вещественны и неотрицательны. Предположим, что эти собственные значения упорядочены таким образом, что они образуют неубывающую последовательность Можно показать [20], что для произвольного вырожденного ядра норма оператора не может быть меньше

Равенство достигается, если мы выберем

так как тогда оператор имеет ядро

и норма оператора задается наибольшим собственным значением Теперь нужно показать, что существует ортонорма ьный базис удовлетворяющий (6.136). Пусть

При

и

Резюмируя, можно сказать, что норма погрешности -мерной аппроксимации сигнала, представленного в виде при ограничена величиной т. е.

где определены в виде

есть собственное значение оператора

Если добавить требование, что оператор должен иметь ядро с интегрируемым квадратом, т. е. быть оператором Гильберта — Шмидта,

а следовательно, компактным (5-72)

то должны стремиться к нулю с увеличением , и погрешность (6.138) может быть сделана сколь угодно малой путем выбора достаточно большого