Спектральное представление нормальных вырожденных операторов

Теперь применим предыдущие положения для представления вырожденных операторов на . Как и прежде, запишем ядро оператора ранг которого равен следующим образом:

где — линейно-независимые функции, на которые натянуто подпространство . Ясно, что — инвариантное подпространство оператора и собственные векторы, соответствующие ненулевым собственным значениям, расположены только в этом подпространстве. Если оператор также нормален, то из (5.95) мы имеем

Следовательно, натянуто также и на систему векторов Отсюда следует, что нуль-пространство для есть ортогональное дополнение поскольку любой вектор, ортогональный ко всем должен отображаться в нуль. Это бесконечномерное подпространство является собственным пространством для Таким образом, задача сводится к конечномерной, т. е. к нахождению которые являются решениями уравнения Это эквивалентно такому уравнению:

Система взаимна по отношению к Поэтому, положив в приходим к матричному уравнению

где — это единичная матрица, матрица с элементами

Известно [4], что уравнение (5.102) имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда определитель матрицы равен нулю. Этот определитель представляет собой полином степени относительно X и называется

характеристическим полиномом для Таким образом ненулевые собственные значения оператора являются корнями уравнения

Соответствующие собственные пространства определяются решениями (5.102). Множество собственных значений которое приведет в конце концов к нужному численному представлению оператора, называется спектром оператора (точнее точечным спектром

Поскольку собственные пространства попарно ортогональны, полное пространство есть прямая сумма собственных пространств, так что для произвольного мы имеем

где — ортогональные проекции х на здесь предполагается, что полином имеет различных корней. Ортогональные проекции могут быть охарактеризованы соответствующими операторами проектирования (см. упражнение 5.9), такими, что для любого х из

Окончательно, может быть представлен так:

Мы получили спектральное представление оператора Другая форма спектрального представления получается, если каждое собственное значение повторить столько раз, какова его кратность, так что спектр получается в виде Используя соответствующее множество ортонормированных собственных векторов можно представить следующим образом:

где все — одномерные операторы ортогонального проектирования, т. е. для всех х из Функциональное ядро вырожденного оператора соответствующее спектральному представлению, имеет простое выражение

Резюмируя предыдущие рассуждения, отметим, что, как мы показали, для нормального оператора ранга можно найти ортонормальный базис в ласти его определения, такой, что изображение любой точки из области определения получается простым покоординатным изменением масштаба для каждой из его компонент. Масштабными множителями служат собственные числа, определяемые как корни характеристического полинома порядка. Отметим также, что эти корни могут быть комплексными, даже если действительный оператор; это является важной причиной, указывающей на целесообразность применения комплексных пространств сигналов.