Сопряженный оператор

Для определения этих подклассов простых операторов очень полезно понятие сопряженного оператора. Оператор, сопряженный с X, есть отображение X, такое, что для всех х и у из области определения

Из этого определения легко выводятся следующие свойстиа сопряженного оператора;

Если — функциональное ядро, представляющее то ядро оператора имеет вид

Если — простой оператор с собственными векторами то собственные векторы оператора представляют собой взаимные векторы , а соответствующие собственные значения оператора X комплексно сопряжены с собственными значениями оператора X,

Чтобы доказать эти утверждения, положим х произвольным и рассмотрим скалярное произведение:

Поскольку произвольного Простые операторы, которые мы будем далее исследовать, называются нормальными. Эти операторы коммутативны со своими сопряженными. Если , то X — нормальный оператор. Собственные векторы нормального оператора совпадают с собственными векторами сопряженного оператора, т. е. Чтобы показать это, рассмотим оператор — к Y, который нормален, если нормален оператор X, а также оператор Мы имеем

Следовательно, тогда и только тогда, когда Поскольку оператор X нормален, собственные векторы операторов азаимны и тождественны и можно ожидать, что эти собственные векторы образуют ортонормальную систему. Действительно, легко показать, что собственные векторы, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны. Мы имеем

Следовательно, если в то Для собственных значений, кратность которых больше единицы, мы можем построить ортонормальную систему (скажем, с помощью процедуры Грамма—Шмидта), на которую будет натянуто соответствующее собственное пространство. Можно сказать, что собственные пространства попарно ортогональны, т. е. для при Таким образом, мы установили, что собственные векторы нормального оператора образуют полную ортонормальную систему.

Упражнение 5.13. Проверить свойства сопряженных операторов (5.94) и (5.95).

Упражнение 5.14, Записать импульсную реакцию и нарисовать схему, реализующую операторы, сопряженные с операторами, приведенными на рис. 5.6. При каких условиях на эти операторы нормальны?

Упражнение 5.15. Показать, что инвариантный во времени оператор нормален.