7.3. СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ

В (7.1) мы определили случайный процесс как временную последовательность случайных значении. Другая точка зрения заключается в том, что процесс трактуется как ансамбль сигналов, детерминированных функций временя, графически изображаемых некоторыми кривыми, причем каждой такой кривой соответствует одна из точек пространства выборок, на котором определена совместная плотность распределения случайных значений. Другими словами, каждый сигнал есть попарная совокупность скалярных величин причем , и, что особенно важно, фиксировано.

Каждый сигнал, полученный таким образом, называется реализацией случайного процесса. Реализация, которую мы обозначим х, есть вектор в пространстве функций времени, но не в пространстве случайных величин. При характеристике свойств случайных процессов обычно придерживаются первой точки зрения, как на временную последовательность случайных значений. Однако в некоторых задачах (например, в § 7.5) полезно иметь в виду обе точки зрения.

Случайный процесс можно описать совместной плотностью вероятности некоторого множества его случайных значений. Многие из процессов с непрерывным временем обладают тем свойством, что плотности распределения инвариантны по отношению к сдвигам во времени. Процесс называется стационарным в узком смысле, если

для любого причем здесь могут быть взяты любые значения из Т.

Автокорреляционная и автоковариационная функции

Независимо от того, стационарный процесс или нет, мы часто будем иметь дело со свойствами пар его случайных значений. В этих случаях удобно ввести статистики второго порядка. В частности, корреляция между всеми парами случайных значений часто служит подходящий характеристикой процесса. Эта корреляция зависит от моментов времени и называется автокорреляционной функцией процесса

Автокорреляционная функция центрированного случайного процесса, получаемого при вычитании средних значений называется автоковариационной функцией процесса

Наконец, есть средний квадрат процесса и — его дисперсия. Заметим, что обе величины зависят, в общем случае, от времени.

Для стационарного процесса, как следует из (7.18), среднее значение не Зависит от времени, а автокорреляция зависит только от разности Если процесс стационарен, принято записывать автокорреляционную функцию, как функцию одного аргумента . Итак, мы имеем

Рис. 7.1, Типичные реализации автокорреляционные функции средний квадрат флюктуаций для быстро и медленно флюктуирующих процессов.

Если условие (7,21) выполняется независимо от более сильного условия (7,18), мы говорим, что процесс стационарен в широком смысле. Изсимметрии и неравенства Шварца следует, что

Представляется естественным, что автокорреляционная функция характеризует частотные свойства случайного процесса. Предположим, что х — стационарный в широком смысле процесс, и мы интересуемся средним квадратом его изменения за время

Если процесс флюктуирует быстро (содержит высокие частоты), отсчеты, взятые через относительно мадйй интервал, будут иметь малую корреляцию. Автокорреляционнафункция окажется в этом случае сравнительно узкой. Напротив, процесс с медленными флюктуациями (содержащий только низкие частоты) будет иметь относительно протяженную автокорреляционную функцию. Это иллюстрируется на рис. 7.1.

Сравнивая (7.22) с (2.39), можно видеть, что автокорреляционная функция стационарного процесса вполне аналогична временной функции неопределенности детерминированного сигнала конечной энергии. Более подробное описание частотных свойств стационарных процессов дано в следующем параграфе.