Во введении был пояснен приближенный способ приведения к системе с одной степенью свободы, основанный па априорных соображения о конфигурации системы при ее колебания. После такого приведения нужно образовать соответствующие выражения для потенциальной п кинетической энергии и тем самым установить значения коэффициента жесткости $c$ и инерционного коэффициента. После этого по формуле (1.11) вычисляется собственная частота.

Рэлей доказал теорему, согласно которой вычисленный указанным способом результат всегда приводит к
преувеличенному значению собственной частоты.

Пусть, например, для системы на рис. 0.4, а дано: массы всех трех тел одинаковы и равны $m$, коэффициенты жесткости всех пру\» жин также одинаковы и равны $c_0$. Следуя методу Рәлея, примем $x_2=\alpha x_1,x_3=\beta x_1,$ где $\alpha$ и $\beta$ — некоторые разумно выбранные числа.

Кинетическая энергия системы выражается через единственную обобщенную скорость ${\dot{x}}_1$ :
$$T=\frac{1}{2}m{\dot{x}}_1^2+\frac{1}{2}m{\dot{x}}_2^2+\frac{1}{2}m{\dot{x}}_3^2=\frac{1}{2}m{\dot{x}}_1^2(1+{\alpha }^2+{\beta }^2),$$

а потенциальная энергия системы — через единственную обобщенную координату $x_1$ :
$$\begin{array}{rl}\mathrm{\Pi }=\frac{1}{2}{c}_0{x}_1^2+\frac{1}{2}{c}_0{(x_2-x_1)}^2+& \frac{1}{2}{c}_0{(x_3-x_2)}^2=\\ & =\frac{1}{2}{c}_0{x}_1^2[1+(\alpha -1{)}^2+(\beta -\alpha {)}^2].\end{array}$$

Следовательно, коэффициенты уравнения (1.13) в данном случае равны
$$a=m(1+{\alpha }^2+{\beta }^2);c=c_0[1+(\alpha -1{)}^2+(\beta -\alpha {)}^2]$$

и собственная частота определяется выражением:
$$k=\sqrt{\frac{c}{a}}=\frac{c_0}{m}\sqrt{\frac{1+(\alpha -1{)}^2+(\beta -\alpha {)}^2}{1+{\alpha }^2+{\beta }^2}}.$$

Конечно, этот результат зависит от выбранных значений $\alpha$ и $\beta$. Если рассматривать частоту как функцию $\alpha$ и $\beta$, то согласно упомянутой теореме Рэлея минимум этой функции определяет истинное значение искомой частоты; по этому поводу см. ниже более простой пример 1.3.

Остановимся на случае свободных изгибных колебаний балок*). Прогиб у любой точки осп балки с абсциссой $x$ меняется во времени, т. е.
$$y=y(x,t)\text{. }$$

Согласно основной идее метода Рэлея примем
$$y=q(t)f(x),$$

где $f(x)$-заранее назначаемая функция координаты $x$, характеризующая форму изогнутой оси балки при колебаниях, $q(t)$ — некоторая, пока неизвестная, функция времени.

Так как функция $f(x)$ задается более или менее произвольно, то результат решения задачи окажется, как правило, приближенным (если случайно в качестве $f(x)$ будет принята истинная форма оси балки при колебаниях, то результат окажется точным).

Форму оси следует выбирать с учетом заданного способа закрепления балки, которым определяются границные условия для функции $f(x)$.

Различаются кинематические и силовъе граничные условия. Рассмотрим эти условия в частных случаях, обозначив через $x_{\text{* }}$ абсцпссу рассматриваемого конца балки.
*) Предполагается, что читатель изучал сопротивление материалов и знаком с теорией изгиба балок при статических нагрузках.

На жестко заделанном конце балки невозможны прогиб п поворот, т. е.
$$y(x_{\ast },t)=0,\frac{\partial y}{\partial x}(x_{\ast },t)=0.$$

Эти равенства должны удовлетворяться в любой момент времени, что будет иметь место, если входящая в (1.19) функция $f(x)$ удовлетворяет условиям
$$f\left(x_{\ast }\right)=0,f^{\prime }\left(x_{\ast }\right)=0.$$

Здесь штрихом обозначена операция дифференцирования по координате $x$. Оба условия (1.20) — кинематические, т. е. относятся к перемещениям концевого сечения.

Если конец $x=x_{\ast }$ шарнирно оперт, то на этом конце должны тождественно равняться нулю п прогиб и изгибающий момент *)
$$y(x_{\ast },t)=0,\frac{{\partial }^{2}y}{\partial x^2}(x_{\ast },t)=0.$$

Отсюда следуют граничные условия для функции $f(x)$ :
$$f\left(x_{\ast }\right)=0,f^{\prime \prime }\left(x_{\ast }\right)=0.$$

Первое из этих условий — кинематическое, второе условие — силовое.

Наконец, на свободном конце $x=x_{\ast }$ должны равняться нулю изгибающий момент и поперечная сила, т.е.
$$\frac{{\partial }^{2}y}{\partial x^2}(x_{\ast },t)=0,\frac{{\partial }^{3}y}{\partial x^3}(x_{\ast },t)=0.$$

При әтом должны удовлетворяться два силовых грани ных условия:
$$f^{\prime \prime }\left(x_{\ast }\right)=0,f^{\prime \prime \prime }\left(x_{\ast }\right)=0.$$

Далее будем полагать, что функция $f(x)$ выбрана с учетом тех или иных заданных граничных условий; обратимся к определению кинетической и потенциальной энергии.
*) Здесь необходимо вспомнить соотношения теории сопротивления материалов: $M=EJ\frac{{\partial }^{2}y}{\partial x^2},Q=EJ\frac{{\delta }^{3}y}{\partial x^3},$ где $M$ — изгибающий момент, $Q$ — пошеречная сила, $EJ$-жесткость сечения при изгибе.

Скорость поперечного движения любой точки оси балки определяется выражением
$$\frac{\partial y}{\partial t}=\dot{q}(t)f(x).$$

Соответственно кинетическая энергия бесконечно маліого элемента длиной $dx$ равна
$$\frac{1}{2}m(x)dx{\left(\frac{\partial y}{\partial t}\right)}^2=\frac{1}{2}m(x){\dot{q}}^2(t)f^2(x)dx.$$

Здесь $m(x)$ — иптенсивность распределенной массы, $m(x)dx$ — масса расматриваемого элемента. Интегрируя по всей длине $l$, находим полную кинетическую энергию балки
$$T=\frac{{\dot{q}}^2(t)}{2}{\int }_0^{l}m(x)f^2(x)dx.$$

Сравпивая полученный результат с общим выражением (1.4) для кинетической энергии, приходим к заключепио, что входящий в (1.23) интеграл представляет собой инерционный коэффициент:
$$a={\int }_0^{l}m(x)f^2(x)dx.$$

Для определения потенциальной эшергии нужно исходить из выражения
$$\mathrm{\Pi }=\frac{1}{2}{\int }_0^{l}EJ{\left(\frac{{\partial }^{2}y}{\partial x^2}\right)}^{2}dx,$$

которое устанавливается в курсе сопротивления материалов. Подставляя сюда
$$\frac{{\partial }^{2}y}{\partial x^2}=q(t)f^{\prime \prime }(x)$$

находим
$$\mathrm{\Pi }=\frac{q^2(t)}{2}{\int }_0^{l}EJ{[f^{\prime \prime }(x)]}^{2}dx.$$

Из сравнения этого результата с выражением (1.8) сле-

дует, что коэффициент жесткости определяется формулой
$$c={\int }_0^{l}EJ{[f^{\prime \prime }(x)]}^{2}dx.$$

После определения коэффициентов $a$ и $c$ по формулам (1.24) и (1.25) собственная частота находится согласно (1.11) в виде

Можно доказать, что если функция $f(x)$ удовлетворяет заданным кинематическим граничным условиям, то приближенный результат (1.26) всегда больше истинного значения низшей собственной частоты балки.

Метод Рэлея может быть использован для приближенного определения низшей собственной частоты любой системы с распределенными параметрами — не только балок, совершающих изгибные колебания, но и стержней при их продольных пли крутильных колебаниях, а также — с соответствующей модификацией — рамных конструкций, пластин и оболочек.

Так, например, в случае продольных колебаний стержня аналогично сказанному принимается, что продольные перемещения $u(x,t)$ описываются тем же произведением (1.19). При этом граничными условиями будут: на свободном конце $f^{\prime }\left(x_{\ast }\right)=0$, на закрепленном конде $f\left(x_{\ast }\right)=0$. При помощи прежних рассуждений можно получить собственную частоту в виде
$$k=\pi /\frac{{\int }_0^{l}EF(x){[f^{\prime }(x)]}^{2}dx}{{\int }_0^{l}m(x{)}^2(x)dx}$$

где $F(x)$ — площадь сечения стержня.
Пример 1.3. Двухмассовая система (рис. 1.4, a) определяется следующими параметрами: $m_1=m_2=m,c_1=c_2=c_0$.
3 я. г. пановко

Найти собственную частоту по методу Рэлея, приняв $x_2=\alpha x_1$ ( $\alpha$ — постоянная), и исследовать, как влияет выбор значения $\alpha$ в пределах $0÷3$ на вычисляемое значение собственной частоты.
В данном случае имеем
$$\begin{array}{l}T=\frac{1}{2}m{\dot{x}}_1^2+\frac{1}{2}m{\left(\dot{\alpha x_1}\right)}^2=\frac{1}{2}m{\dot{x}}_1^2(1+{\alpha }^2);\\ \mathrm{\Pi }=\frac{1}{2}{c}_0{x}_1^2+\frac{1}{2}{c}_0{(\alpha x_1-x_1)}^2=\frac{1}{2}{c}_0{x}_1^2({\alpha }^2-2\alpha +2).\end{array}$$

Следовательно, $a=m(1+{\alpha }^2),c=c_0({\alpha }^2-2\alpha +2)$ и собственная частота равна
$$k=\sqrt{\frac{c}{a}}=\gamma \sqrt{\frac{\overline{c}}{m}},\gamma ==\sqrt{\frac{{\alpha }^2-2\alpha +2}{1+{\alpha }^2}}.$$

Зависимость коэффициента $\gamma$ от значений $\alpha (\alpha >0)$ показана на рис. 1.4, б. Как указывалось выше, при произвольном выборе $\alpha$ вычисленное значение окажется выше истинпого; точный результат $\gamma =0,618$ (см. ниже пример 4.3) соответствует точке минимума кривой на рис. 1.4, , где $\alpha =1,618$. Из графика, между прочим, видно, что в зоне минимума зпачения $\alpha$ довольно слабо влияют на величину $\gamma$. Поэтому из-за произвола, допускаемого при выборе зпачения $\alpha$, обычно пе возникают большие ошибки в определении собственной частоты.

Как правило, то же отпосится и к другим мехапическим системам — в этом и состоит прақтическая ценность метода Рэлея.
Рис. 1.4
Рис. 1.5
П ример 1.4. Наїти методом Рәлея соб́ствеппую частоту колебаний консольной балки постоянного поперечного сечения $EJ=$ $=$ const; считается также постоянной интенсивность $m$ ее массы (рис. 1.5).
Іримем сначала
$$f(x)=\frac{x^2}{l},$$

что удовлетворяет кинематическим граничным условиям на левом конце и одному из силовых условий на правом конце (сило-

вое условие $f^{\prime \prime }(l)=0$ здесь нарушено!). Подставляя (а) в (1.26), вычисляем
$$k=\frac{4,47}{l^2}\sqrt{\frac{EJ}{m}}.$$

В качестве формы колебаний лучще принять функцию
$$f(x)=\frac{x^2}{2l}-\frac{x^3}{3l^2}+\frac{x^4}{12l^3},$$

которая удовлетворяет всем граничным условиям задачи:
$$\begin{array}{rlrl}f(0)& =0,& f^{\prime }(0)& =0,\\ f^{\prime \prime }(l)& =0,& f^{\prime \prime \prime }(l)& =0.\end{array}$$

Подставив (б) в формулу (1.26), найдём
$$k=\frac{3,64}{l^2}\sqrt{\frac{EJ}{m}},$$

что лишь на $3,4\mathrm{\%}$ отличается от известного точного значения
$$k=\frac{3,51}{l^2}\sqrt{\frac{EJ}{m}}.$$