Во введении был пояснен приближенный способ приведения к системе с одной степенью свободы, основанный па априорных соображения о конфигурации системы при ее колебания. После такого приведения нужно образовать соответствующие выражения для потенциальной п кинетической энергии и тем самым установить значения коэффициента жесткости $c$ и инерционного коэффициента. После этого по формуле (1.11) вычисляется собственная частота.

Рэлей доказал теорему, согласно которой вычисленный указанным способом результат всегда приводит к
преувеличенному значению собственной частоты.

Пусть, например, для системы на рис. 0.4, а дано: массы всех трех тел одинаковы и равны $m$, коэффициенты жесткости всех пру\” жин также одинаковы и равны $c_{0}$. Следуя методу Рәлея, примем $x_{2}=\alpha x_{1}, \quad x_{3}=\beta x_{1}, \quad$ где $\alpha$ и $\beta$ – некоторые разумно выбранные числа.

Кинетическая энергия системы выражается через единственную обобщенную скорость $\dot{x}_{1}$ :
\[
T=\frac{1}{2} m \dot{x}_{1}^{2}+\frac{1}{2} m \dot{x}_{2}^{2}+\frac{1}{2} m \dot{x}_{3}^{2}=\frac{1}{2} m \dot{x}_{1}^{2}\left(1+\alpha^{2}+\beta^{2}\right),
\]

а потенциальная энергия системы – через единственную обобщенную координату $x_{1}$ :
\[
\begin{aligned}
\Pi=\frac{1}{2} c_{0} x_{1}^{2}+\frac{1}{2} c_{0}\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+ & \frac{1}{2} c_{0}\left(x_{3}-x_{2}\right)^{2}= \\
& =\frac{1}{2} c_{0} x_{1}^{2}\left[1+(\alpha-1)^{2}+(\beta-\alpha)^{2}\right] .
\end{aligned}
\]

Следовательно, коэффициенты уравнения (1.13) в данном случае равны
\[
a=m\left(1+\alpha^{2}+\beta^{2}\right) ; \quad c=c_{0}\left[1+(\alpha-1)^{2}+(\beta-\alpha)^{2}\right]
\]

и собственная частота определяется выражением:
\[
k=\sqrt{\frac{c}{a}}=\frac{c_{0}}{m} \sqrt{\frac{1+(\alpha-1)^{2}+(\beta-\alpha)^{2}}{1+\alpha^{2}+\beta^{2}}} .
\]

Конечно, этот результат зависит от выбранных значений $\alpha$ и $\beta$. Если рассматривать частоту как функцию $\alpha$ и $\beta$, то согласно упомянутой теореме Рэлея минимум этой функции определяет истинное значение искомой частоты; по этому поводу см. ниже более простой пример 1.3.

Остановимся на случае свободных изгибных колебаний балок*). Прогиб у любой точки осп балки с абсциссой $x$ меняется во времени, т. е.
\[
y=y(x, t) \text {. }
\]

Согласно основной идее метода Рэлея примем
\[
y=q(t) f(x),
\]

где $f(x)$-заранее назначаемая функция координаты $x$, характеризующая форму изогнутой оси балки при колебаниях, $q(t)$ – некоторая, пока неизвестная, функция времени.

Так как функция $f(x)$ задается более или менее произвольно, то результат решения задачи окажется, как правило, приближенным (если случайно в качестве $f(x)$ будет принята истинная форма оси балки при колебаниях, то результат окажется точным).

Форму оси следует выбирать с учетом заданного способа закрепления балки, которым определяются границные условия для функции $f(x)$.

Различаются кинематические и силовъе граничные условия. Рассмотрим эти условия в частных случаях, обозначив через $x_{\text {* }}$ абсцпссу рассматриваемого конца балки.
*) Предполагается, что читатель изучал сопротивление материалов и знаком с теорией изгиба балок при статических нагрузках.

На жестко заделанном конце балки невозможны прогиб п поворот, т. е.
\[
y\left(x_{*}, t\right)=0, \frac{\partial y}{\partial x}\left(x_{*}, t\right)=0 .
\]

Эти равенства должны удовлетворяться в любой момент времени, что будет иметь место, если входящая в (1.19) функция $f(x)$ удовлетворяет условиям
\[
f\left(x_{*}\right)=0, \quad f^{\prime}\left(x_{*}\right)=0 .
\]

Здесь штрихом обозначена операция дифференцирования по координате $x$. Оба условия (1.20) – кинематические, т. е. относятся к перемещениям концевого сечения.

Если конец $x=x_{*}$ шарнирно оперт, то на этом конце должны тождественно равняться нулю п прогиб и изгибающий момент *)
\[
y\left(x_{*}, t\right)=0, \frac{\partial^{2} y}{\partial x^{2}}\left(x_{*}, t\right)=0 .
\]

Отсюда следуют граничные условия для функции $f(x)$ :
\[
f\left(x_{*}\right)=0, \quad f^{\prime \prime}\left(x_{*}\right)=0 .
\]

Первое из этих условий – кинематическое, второе условие – силовое.

Наконец, на свободном конце $x=x_{*}$ должны равняться нулю изгибающий момент и поперечная сила, т.е.
\[
\frac{\partial^{2} y}{\partial x^{2}}\left(x_{*}, t\right)=0, \frac{\partial^{3} y}{\partial x^{3}}\left(x_{*}, t\right)=0 .
\]

При әтом должны удовлетворяться два силовых грани ных условия:
\[
f^{\prime \prime}\left(x_{*}\right)=0, \quad f^{\prime \prime \prime}\left(x_{*}\right)=0 .
\]

Далее будем полагать, что функция $f(x)$ выбрана с учетом тех или иных заданных граничных условий; обратимся к определению кинетической и потенциальной энергии.
*) Здесь необходимо вспомнить соотношения теории сопротивления материалов: $M=E J \frac{\partial^{2} y}{\partial x^{2}}, Q=E J \frac{\delta^{3} y}{\partial x^{3}}, \quad$ где $M$ – изгибающий момент, $Q$ – пошеречная сила, $E J$-жесткость сечения при изгибе.

Скорость поперечного движения любой точки оси балки определяется выражением
\[
\frac{\partial y}{\partial t}=\dot{q}(t) f(x) .
\]

Соответственно кинетическая энергия бесконечно маліого элемента длиной $d x$ равна
\[
\frac{1}{2} m(x) d x\left(\frac{\partial y}{\partial t}\right)^{2}=\frac{1}{2} m(x) \dot{q}^{2}(t) f^{2}(x) d x .
\]

Здесь $m(x)$ – иптенсивность распределенной массы, $m(x) d x$ – масса расматриваемого элемента. Интегрируя по всей длине $l$, находим полную кинетическую энергию балки
\[
T=\frac{\dot{q}^{2}(t)}{2} \int_{0}^{l} m(x) f^{2}(x) d x .
\]

Сравпивая полученный результат с общим выражением (1.4) для кинетической энергии, приходим к заключепио, что входящий в (1.23) интеграл представляет собой инерционный коэффициент:
\[
a=\int_{0}^{l} m(x) f^{2}(x) d x .
\]

Для определения потенциальной эшергии нужно исходить из выражения
\[
\Pi=\frac{1}{2} \int_{0}^{l} E J\left(\frac{\partial^{2} y}{\partial x^{2}}\right)^{2} d x,
\]

которое устанавливается в курсе сопротивления материалов. Подставляя сюда
\[
\frac{\partial^{2} y}{\partial x^{2}}=q(t) f^{\prime \prime}(x)
\]

находим
\[
\Pi=\frac{q^{2}(t)}{2} \int_{0}^{l} E J\left[f^{\prime \prime}(x)\right]^{2} d x .
\]

Из сравнения этого результата с выражением (1.8) сле-

дует, что коэффициент жесткости определяется формулой
\[
c=\int_{0}^{l} E J\left[f^{\prime \prime}(x)\right]^{2} d x .
\]

После определения коэффициентов $a$ и $c$ по формулам (1.24) и (1.25) собственная частота находится согласно (1.11) в виде

Можно доказать, что если функция $f(x)$ удовлетворяет заданным кинематическим граничным условиям, то приближенный результат (1.26) всегда больше истинного значения низшей собственной частоты балки.

Метод Рэлея может быть использован для приближенного определения низшей собственной частоты любой системы с распределенными параметрами – не только балок, совершающих изгибные колебания, но и стержней при их продольных пли крутильных колебаниях, а также – с соответствующей модификацией – рамных конструкций, пластин и оболочек.

Так, например, в случае продольных колебаний стержня аналогично сказанному принимается, что продольные перемещения $u(x, t)$ описываются тем же произведением (1.19). При этом граничными условиями будут: на свободном конце $f^{\prime}\left(x_{*}\right)=0$, на закрепленном конде $f\left(x_{*}\right)=0$. При помощи прежних рассуждений можно получить собственную частоту в виде
\[
k=\pi / \frac{\int_{0}^{l} E F(x)\left[f^{\prime}(x)\right]^{2} d x}{\int_{0}^{l} m(x)^{2}(x) d x}
\]

где $F(x)$ – площадь сечения стержня.
Пример 1.3. Двухмассовая система (рис. 1.4, a) определяется следующими параметрами: $m_{1}=m_{2}=m, c_{1}=c_{2}=c_{0}$.
3 я. г. пановко

Найти собственную частоту по методу Рэлея, приняв $x_{2}=\alpha x_{1}$ ( $\alpha$ – постоянная), и исследовать, как влияет выбор значения $\alpha$ в пределах $0 \div 3$ на вычисляемое значение собственной частоты.
В данном случае имеем
\[
\begin{array}{l}
T=\frac{1}{2} m \dot{x}_{1}^{2}+\frac{1}{2} m\left(\dot{\alpha x_{1}}\right)^{2}=\frac{1}{2} m \dot{x}_{1}^{2}\left(1+\alpha^{2}\right) ; \\
\Pi=\frac{1}{2} c_{0} x_{1}^{2}+\frac{1}{2} c_{0}\left(\alpha x_{1}-x_{1}\right)^{2}=\frac{1}{2} c_{0} x_{1}^{2}\left(\alpha^{2}-2 \alpha+2\right) .
\end{array}
\]

Следовательно, $a=m\left(1+\alpha^{2}\right), c=c_{0}\left(\alpha^{2}-2 \alpha+2\right)$ и собственная частота равна
\[
k=\sqrt{\frac{c}{a}}=\gamma \sqrt{\frac{\bar{c}}{m}}, \quad \gamma==\sqrt{\frac{\alpha^{2}-2 \alpha+2}{1+\alpha^{2}}} .
\]

Зависимость коэффициента $\gamma$ от значений $\alpha(\alpha>0)$ показана на рис. 1.4, б. Как указывалось выше, при произвольном выборе $\alpha$ вычисленное значение окажется выше истинпого; точный результат $\gamma=0,618$ (см. ниже пример 4.3) соответствует точке минимума кривой на рис. 1.4, , где $\alpha=1,618$. Из графика, между прочим, видно, что в зоне минимума зпачения $\alpha$ довольно слабо влияют на величину $\gamma$. Поэтому из-за произвола, допускаемого при выборе зпачения $\alpha$, обычно пе возникают большие ошибки в определении собственной частоты.

Как правило, то же отпосится и к другим мехапическим системам – в этом и состоит прақтическая ценность метода Рэлея.
Рис. 1.4
Рис. 1.5
П ример 1.4. Наїти методом Рәлея соб́ствеппую частоту колебаний консольной балки постоянного поперечного сечения $E J=$ $=$ const; считается также постоянной интенсивность $m$ ее массы (рис. 1.5).
Іримем сначала
\[
f(x)=\frac{x^{2}}{l},
\]

что удовлетворяет кинематическим граничным условиям на левом конце и одному из силовых условий на правом конце (сило-

вое условие $f^{\prime \prime}(l)=0$ здесь нарушено!). Подставляя (а) в (1.26), вычисляем
\[
k=\frac{4,47}{l^{2}} \sqrt{\frac{E J}{m}} .
\]

В качестве формы колебаний лучще принять функцию
\[
f(x)=\frac{x^{2}}{2 l}-\frac{x^{3}}{3 l^{2}}+\frac{x^{4}}{12 l^{3}},
\]

которая удовлетворяет всем граничным условиям задачи:
\[
\begin{aligned}
f(0) & =0, & f^{\prime}(0) & =0, \\
f^{\prime \prime}(l) & =0, & f^{\prime \prime \prime}(l) & =0 .
\end{aligned}
\]

Подставив (б) в формулу (1.26), найдём
\[
k=\frac{3,64}{l^{2}} \sqrt{\frac{E J}{m}},
\]

что лишь на $3,4 \%$ отличается от известного точного значения
\[
k=\frac{3,51}{l^{2}} \sqrt{\frac{E J}{m}} .
\]