Для суждения об устойчивости состояний равновесия выше мы пользовались линеаризованными уравнениями, описывающими малые движения в окрестности этих состояний. Такой анализ позволяет уловить начальные тенденции возмущенных движениї, но – в случаях неустойчивости – не позволяет проследить дальнейшее развитие процесса движения при возрастании отклонений.

Исследование движения «в большом» в принципе невозможно с помощью линеаризованных уравнений: нелинейные члены уравнений, будучи пренебрежимо малыми ири малых отклонениях спстемы от состояния равновесия, начинают играть все более заметную роль при увеличении отклонений; при этом вид нелинейности существенно влияет на развитие процесса с возрастанием вре-

мени. В частности, во многих случаях возрастание колебаний постепенно замедляется и движение стремится к некоторому стационариому режиму – режиму автоколебаний. В общих чертах природу этого явления можно понять с помощью качественных соображений, не прибегая к количественному исследованию.

Рассмотрим, например, колебательную систему с трением, когда характеристика трения описывается нелинейной функцией скорости $R(\dot{q})=-b_{1} \dot{q}+b_{3} \dot{q}^{\text {2, }} \quad$ (рис.
Рис. 13.1
$13.1, a)$. Дифференциальное уравнение движения (уравнение Рәлея) имеет вид
\[
a \ddot{q}-b_{1} \dot{q}+b_{3} \dot{q}^{3}+c q=0
\]
\[
\left(a>0, b_{1}>0, b_{3}>0, c>0\right) \text {. }
\]

Iри малых отклонениях от состояния равновесня основное значение имеет линейный член силы трения, который в данном случае оказывает дест абилиз и у ющ е действие; из-за этого состояние равновесия неустойчиво, и сколь угодно малые начальные возмуцения вызовут постепенно возрастающие колебания (об этом см. выше в связи с уравнением (12.3)). Но при этом будет увеличиваться де ми фрующе влияние кубического чтена, так что рост колебаний станет замедляться и двнжение будет стремиться к режиму автоколебаний, характеризуемому по-
стоянным значением амплитуды; в целом двнжение будет развиваться так, как это показано на рис. 13.1, б.

При достаточно большх начальных возмущениях рассматриваемой системы демпфирующее действие кубй ческого тлена вначале окажется значительнее, чем дестабилизирующее дейстьие линейнюго члена, т. е. колебания

в начале процесса будут затухать. Однако с уменьшением колебаний относительное влияние кубического члена будет также убывать, т. е. движение станет стремиться к тому же стационарному режиму, который характеризуется балансом противоположных влияний (рис. 13.1, в).

Эти два случая движения удобно иллюстрировать на фазовой плоскости (рис. 13.2, a). Кривая $I$ соответствует движению, возникающему после малых начальных возмущений, кривая $I I$ – движению, начинающемуся после значительных возмущений; обе эти кривые описывают переходный процесс. Замкнутая кривая $A$, к которой неограниченно приближаются кривые типа $I$ и $I I$, описывает стационарный режим автоколебаний и является устойчивым предельным циклом. Вообще устойчивыми предельными циклами называются изолированные замкнутые фазовые траектории, к которым неограниченно приближаются все расположенные в Iх окрестности другие фазовые траектории.

Сопоставляя демпфирующие и дестабилизирующие влияния, мы, в сущности, имели в виду постепенное изменение энергии системы вследствие работы, совершаемой различными составляющими силы трения. Дестабилизирующие слагаемые совершают положительную работу и увеличивают энергию системы, а демпфирующие слагаемые совершают отрицательную работу, т. е. уменьшают энергию системы. На рис. 13.2, 6 схематически показаны вклады обоIх слагаемых, рассчитанные

Рис. 13.2 за один период: $E_{+}$- приращение эиергии, вызываемое действием линейного слагаемого сплы трения, $E_{-}-$абсолютное значение изменения энергии, вызываемого действнем кубического слагаемого спиы трения. Как видно, эти вклады, п притом в шеодинакової мере, завнсят от Амплитуды колебавий. При малых амплитудах имеет место нерА-

венство $E_{+}>E_{-}$, т. е. происходит приток энергии в систему и амплитуды возрастают, пока не будет достигнут стационарный режим, характерпуемый амплитудой $A_{\text {ст }}$. Если вследствие больщих начальных возмущений колебания начинаются с амшлитудами, бо́льшими чем $A_{\text {ст }}$, то разность $E_{+}-E_{-}$отрицательная, и колебания убывают, стремясь к тому же стационарному режиму. Возможные тенденции движения показаны стрелками под осью абссисс.

Такими же свойствами обладает и система, описываемаядифференциальным у равнен и м В андер Поля
\[
\ddot{q}-\mu\left(1-q^{2}\right) \dot{q}+q=0
\]
( $\mu$ – постоянная). Положим, что после некоторого малого начального возмущения начинаются колебания с малыми амплитудами. Пока колебания малы и выполняется неравенство $q^{2}<1$, второе слагаемое уравнения ( 13.2 ) оказывает, по-видимому, дестабилизирующее действне, и колебания будут возрастать. Но с их увеличением указанное неравенство станет нарушаться и коэффициент при $\dot{q}$ будет положительным в тех интервалах времени, в которых $q^{2}>1$. В этих интервалах времени второе слагаемое левой части (13.2) будет оказывать демпфирующее влияние. При дальнейшем возрастании колебаний демпфирующее действие будет увеличиваться и движение системы станет приближаться к стационарному режиму, которому соответствует взаимная компенсация дестабилизирующего и демпфирующего влияний. В целом процесс установления будет протекать соответственно рис. 13.1 , б и в, а также рис. 13.2 , а и б.

Подобные случап, когда возрастание колебаний происходит после сколь угодно малых начальных возмущений состоянія равновесия, называются случаями мягкого самовозбуждения.

Наряду с этим существуют системы с противоположными свойствами. Такова, например, система, описываемая дифференциальным уравнением
\[
a \ddot{q}+b_{1} \dot{q}-b_{3} \dot{q}^{3}+c q=0
\]
$\left(a>0, b_{1}>0, b_{3}>0, c>0\right)$. Здесь знаки слагаемых силы трения противоположны знакам в уравнении (13.1). Поэтому если начальные возмущения малы, то колебания будут затухать (начало координат является устойчивым фокусом), но если начальные возмущения достаточ-

но велики, то амплитуды колебаний будут неограниченно увеличиваться. В этом случае фазовая диаграмма пмеет вид, показанный на рис. 13.3, а. Здесь также существует предельный цикл $A$, однако он не у стойчив, так как все окрестные фазовые траектори удаляются от
Pис. 13.3
Рис. 13.4

него – либо внутрь, к началу координат, либо вовне (в зависимости от расположения начальной изображающей точки). Эти траектории на рис. 13.3, а обозначены цифрами I и II. Вообще неустойчивыми предельными циклами называются такие изолированные замкнутые фазовые траектории, от которых удаляются все расположенные в их окрестности другие фазовые траектории.

Кривые, характеризующие приток энергии $E_{+}$и энергетические потери $E_{-}$, показаны на рис. 13.3 , б; здесь же стрелками показаны тенденции движения при различных амплитудах колебаний. Такая система может служить іримером системы с жестким самовозбуждением, поскольку возрастающие колебания возникают лишь после достаточно больших начальных возмущений.

В более сложных случаях возможно существование нескольких предельных циклов. Так, для системы, ошисызаемой дифференциальным уравнением
\[
a \ddot{q}-b_{1} \dot{q}+b_{3} \dot{q}^{2}-b_{5} \dot{q}^{5}+c q=0
\]
$\left(a>0, b_{1}>0, b_{3}>0, b_{5}>0, c>0\right)$, фазовая диаграмма имеет вид, показанный на рис. $13.4, a$, а энергетические кривые даны на рис. 13.4, б.

Во всех рассмотреншы случаях можно заметить чередование устойчивых и неустойчивых стационарных состояний: на рис. 13.2 , а неустойчивая особая точка окружена устойчивым предельным циклом, на рис. 13.3, a устойчивая особая точка окружена неустойчивым предельпым циклом, на рис. 13.4, a неустойчивая особая точка окружена устойчивым циклом $A_{1}$, который в свою очередь располагается внутри неустойчивого предельного цикла $A_{2}$ (для последнего случая на рис. 13.4, б показаны энергетические кривые). Можно сказать, что устойчивые состояния равновесия п устойчивые предельные циклы притягивают $к$ себе лежащие в их окрестностях фазовые траектории и по этому существенному признаку называются аттракторами (от английского глагола to attract- притягивать). Ниже, в § 16 будет рассмотрен аттрактор иного рода со столь удивительными свойствами, что его называют странным аттрактором.

Каждому аттрактору на фазовой плоскости соответствует определенная область притлжения, причем границами между этими областями служат неустойчивые предельные циклы (иногда такие циклы, а также неустойчивые состояния равновесия называют репеллерами – от английского глагола to repel – отталкивать). Эта картина подобна тому, как на земной поверхности границы между бассейнами рек проходят по линиям водораздела.

При простой структуре фазовой диаграммы, когда существует единственный аттрактор – устойчивое состояпие равновесия как на рис. 2.3 , или устойчивый предельпый цикл как на рис. 13.3 – его областью притяжения служит вся фазовая плоскость. В более сложных случаях стремтение возмущенного двпжения к тому или иному аттрактору зависит от того, в какой из областей притяжения оказалась изображающая точка при начальном возмущении. Так, для системы с двумя предельными пиклами (рис. 13.4) часть фазовой плоскости, расположенная внутри неустойтивого предельного цикла $A_{2}$, яв-

ляется областью ирптяжения к аттрактору $A_{1}$, а часть фазовой нлоскости, расположенную вне предельного цикла $A_{2}$, можно считать областью притяжения к бесконечности.

Изложепные представления отпосятся к автономным системам с одной степенью свободы, но могут быть распространены на более сложные системы путем перехода от фазовой плоскости к фазовому пространству более высогой размерности. В частности, для неавтономных систем с одной степенью свободы пользуются представлением о трехмерном фазовом пространстве, причем координатами изображающей точки служат величины $q, \dot{q}$ и $t$. Фазовое пространство для автономной системы с двумя степенями свободы оказывается четырехмерным и т. д. Конечно, в этих и еще более сложных случаях представления о фазовых диаграммах лишаются простоты и наглядности, которыми обладают эти диаграммы на фазовой плоскости.

Дальнейшее содержание настоящего параграфа посвящено способам определения стационарных режимов; анализ устойчивости (неустойчивости) таких режимов, т. е. выделение аттракторов и репеллеров, рассматривается в следующем параграфе.