Для нахождения основных колебаний приближенно примем закон движения в виде (7.3) и воспользуемся методом гармонического баланса (см. выше стр. 69-70). Образуем периодическую функцию $F(A \sin \omega t)$ и, разложив ее в ряд Фурье, ограничимся учетом одного первого члена:
\[
F(A \sin \omega t) \approx b_{1} \sin \omega t .
\]

Здесь $b_{1}$ определяется выражением (3.18). Подставив выражение (7.3) в первый член уравнения (7.2) и выражение (7.4) – во второй член того же уравнения, получим приближенное соотношение
\[
-a A \omega^{2}+\frac{1}{\pi} \int_{0}^{2 \pi} F(A \sin \psi) \sin \psi d \psi=H,
\]

из которого можно определить амплитуду $A$.
Пусть, например, характеристика восстанавливающей силы имеет вид
\[
F(q)=c_{0} q+\beta q^{3} .
\]

Прежде всего находим
\[
\begin{array}{l}
\int_{0}^{2 \pi} F(A \sin \psi) \sin \psi d \psi= \\
=\int_{0}^{2 \pi}\left(c_{0} A \sin \psi+\beta A^{3} \sin ^{3} \psi\right) \sin \psi d \psi=\pi c_{0} A+\frac{3}{4} \pi \beta A^{3} .
\end{array}
\]

При этом уравнение (7.5) принимает форму
\[
A\left(\frac{c_{0}}{a}+\frac{3}{4} \frac{\beta}{a} A^{2}\right)=\frac{H}{a}+A \omega^{2} .
\]

Для выявления качественных свойств решения кубического уравнения (7.7) можно воспользоваться графическим способом; по своей наглядности он, пожалуй, прегосходит аналитическое решение.

Построим график зависимости левой части от амплитуды $A$ (см. кривую $P_{\text {л }}(A)$ на рис. $7.1, a$ ), а также прямую $P_{a}(A)$, соответствующую шравой части; если часто-

та $\omega$ невелика, то прямая $P_{\text {п }}$ пересечет кривую $P_{\text {л }}$ в одной точке, абсцисса которой $A_{1}$ является единственным вещественным корнем уравнения (7.7). С увеличением частоты $\omega$ угол наклона прямой г оси абсцисс будет возрастать, а значение корня $A_{1}$ – увеличиваться. Наконец, при достаточно большом значении $\omega=\omega_{*}$ прямая $P_{\text {п }}$ коснется кривой $P_{\text {л }}$ в третьем квадранте (рис. 7.1, б),
Рис. 7.1

а при дальнейшем увеличении $\omega$ будет пересекать кривую $P_{\text {л в }}$ в тех точках (рис. 7.1, в).

Соответственно уравнение (7.8) при $\omega>\omega_{*}$ будет пметь трі веществснных корня: $A_{1}, A_{2}, A_{3}$. Изменение значений этих корней при постепенном увеличении частоты $\omega$ шоказано на рис. $7.2, a$; здесь же штриховой линией показана скелетная кривая, выражающая связь между частотой и амплитудой свободных колебаний той же системы.

Полученная амплитудно-частотная зависпмость напоминает резонансную кривую для линейной системы, однако резонансный пик несколько «деформирован» соответственно искривлению скелетной линии при жесткой характеристике. Для системы с мягкой характеристикой амплитудно-частотная зависимость имеет вид, подобный рис. $7.2,6$.

Хотя полученное решение приближенное, однако оно дает, по крайней мере качественно, верное представление об пзменении амплитуды вынужденных колебаний с изменением их частоты: при достаточно больших значениях частоты вынуждающей силы решение становится неоднозначным и одному значению частоты соответствует три значения амплитуды $A$ колебаний.

Дополнительные исследования (см. ниже § 9) показывают, что из трех возможных режимов движения при $\omega>\omega_{*}$
\[
q=A_{1} \sin \omega t, q=A_{2} \sin \omega t, q=A_{3} \sin \omega t,
\]

устойчивы первый и второй, а третий режим неустойчив,- сколь угодно малые возмущения этого режима приводят движение системы к первому или второму режиму. В связи с этим физически осуществимы только первый и второй стационарные режимы.

Если постепенно увеличивать от нуля частоту $\omega$, то амплитуды увеличиваются, следуя ветви $I$ (см. рис. 7.2,a).
Рис. 7.2

Если при некотором значении частоты $\omega=\omega_{1}$ система испытывает достаточно большое мгновенное возмущение, то происходит «срыв» амплитуды на ветвь $I I$ (точки $n$ и $n^{\prime}$ ). Если затем продолжать постепенное увеличение частоты $\omega$, то амплитуда колебаний будет уменьшаться, следуя кривой $I I$. Если же после срыва амплитуд частоту $\omega$ уменьшать, то будет происходить плавное возрастание амплитуды до точки $n^{\prime \prime}$. При дальнейшем уменьшении частоты амплитуда резко увеличивается (точка $n^{\prime \prime \prime}$

на ветви $I$ ) и затем вновь постепенно уменьшается, следуя ветви $I$.

Другое, также приближенное, решение можно получить по способу прямой линеаризации. Согласно этому приближенному способу (см. § 3) нелинейная характеристика $F(q)$ заменяется эквивалентной линейной, так тто дифференциальное уравнение (7.2) сразу принимает вид
\[
a \ddot{q}+c q=H \sin \omega t .
\]

Величина $c$ определяется так, как это было пояснено в $\S 3$, по формуле (3.16); важно отметить, что в данном случае она не является параметром системы, а зависит от амплитуды колебаний. Амплитуда стационарной части решения линейного дифференциального уравнения (7.9), как известно, имеет вид
\[
A=\frac{H}{c-a \omega^{2}} .
\]

Так как $c$ завнсит от амплитуды $A$, то соотношение (7.10) следует рассматривать как уравнение для определения $A$. Так, при характеристике (7.6) находим по формуле (3.16)
\[
c=\frac{5}{A^{5}} \int_{0}^{A}\left(c_{0} q+\beta q^{3}\right) q^{3} d q=c_{0}+\frac{5 \beta A^{2}}{7},
\]

и (7.10) приобретает вид, подобный (7.7):
\[
A\left(c_{0}+\frac{5}{7} \beta A^{2}\right)=\frac{H}{a}+A \omega^{2} .
\]

Графическое решение этого уравнения в принципе совпадает с данным выше для уравнения (7.7).

Если в системе имеется трение, то обе ветви кривых смыкаются, как показано на рис. 7.2 , в. При постепенном возрастании частоты становится неизбежным срыв амплитуд при $\omega=\omega_{2}$; в случаях постепенного уменьшения частоты, которое начинается при достаточно больших ее значениях, срыв амплитуд происходит при $\omega=\omega_{1}$.