В некоторых случаях перемещения при колебаниях могут быть настолько значительными, что в разложении потенциальной энергии (1.6) необходимо учитывать не только тлен, содержащий $q^{2}$, но и последующие члены. Иногда разложение (1.6) вообще не содержит квадратичного члена и начинается с члена выше второй степени. Отметим также, что в некоторых системах потенциальная энергия, соответствующая положению равновесия, не имеет аналитического минимума и вообще непредставима в виде (1.6).

Во всех этих случаях обобщенная восстанавливающая сила нелинейна и соответственно, нелинейно дифференциальное уравнение движения.

Простейшим примером может служить задача о больших колебаниях

Рис. 3.1 математического маятника (рис. 3.1).

Если принять за обобщенную координату $\varphi$ угол отклонения маятника от вертикали, то переменная высота $h$, на которой находится груз, равна
\[
h=l(1-\cos \varphi),
\]

соответственно потенциальная энергия определяется выражением
\[
\Pi=m g h=m g l(1-\cos \varphi) .
\]

При весьма малых значениях $\varphi$ можно принять
\[
\cos \varphi \approx 1-\frac{\varphi^{2}}{2}
\]

после чего потенциальная энергия оказывается квадратичной функцией обобщенной координаты $\varphi$, п мы приходим к линейной задаче.

Такое представление становится недостаточно точным при значительных углах отклонения. Для точного решения нужно подставить в уравнение Лагранжа (1.1)
\[
\frac{\partial \Pi}{\partial \varphi}=m g l \sin \varphi \text {. }
\]

Так как кинетическая энергия равна
\[
T=\frac{m l^{2} \dot{\varphi}^{2}}{2},
\]

то согласно (1.1) получится нелинейное дифференциальное уравнение
\[
\ddot{\varphi}+\frac{g}{l} \sin \varphi=0 .
\]

В более общем случае дифференциальное уравнение имеет вид
\[
a \ddot{q}+F(q)=0,
\]

где
\[
F(q)=\frac{\partial \Pi}{\partial q}
\]

представляет собой взятую с обратным знаком обобщенную восстанавливающую силу, являющуюся нелинейной функцией координаты $q$.

Зависимость $F(q)$ называют квазиупругой характеристикой. или характеристикой жесткости. На рис. 3.2 показаны некоторые нелинейные системы с одной степенью свободы и соответствующие им характеристики жесткости. Среди приведенных здесь характеристик можно выделить характеристики симметричные (рис. $3.2, a, \sigma, в$ ) и несимметричные (рис. 3.2, ), характеристики с разрывами (рис. 3.2,в), характеристики гладкие (рис. 3.2,a) и ломаные (рис. $3.2,6, в, 2$ ).