В некоторых случаях перемещения при колебаниях могут быть настолько значительными, что в разложении потенциальной энергии (1.6) необходимо учитывать не только тлен, содержащий $q^2$, но и последующие члены. Иногда разложение (1.6) вообще не содержит квадратичного члена и начинается с члена выше второй степени. Отметим также, что в некоторых системах потенциальная энергия, соответствующая положению равновесия, не имеет аналитического минимума и вообще непредставима в виде (1.6).

Во всех этих случаях обобщенная восстанавливающая сила нелинейна и соответственно, нелинейно дифференциальное уравнение движения.

Простейшим примером может служить задача о больших колебаниях

Рис. 3.1 математического маятника (рис. 3.1).

Если принять за обобщенную координату $\phi$ угол отклонения маятника от вертикали, то переменная высота $h$, на которой находится груз, равна
$$h=l(1-\cos \phi ),$$

соответственно потенциальная энергия определяется выражением
$$\mathrm{\Pi }=mgh=mgl(1-\cos \phi ).$$

При весьма малых значениях $\phi$ можно принять
$$\cos \phi \approx 1-\frac{{\phi }^2}{2}$$

после чего потенциальная энергия оказывается квадратичной функцией обобщенной координаты $\phi$, п мы приходим к линейной задаче.

Такое представление становится недостаточно точным при значительных углах отклонения. Для точного решения нужно подставить в уравнение Лагранжа (1.1)
$$\frac{\partial \mathrm{\Pi }}{\partial \phi }=mgl\sin \phi \text{. }$$

Так как кинетическая энергия равна
$$T=\frac{m{l}^2{\dot{\phi }}^2}{2},$$

то согласно (1.1) получится нелинейное дифференциальное уравнение
$$\ddot{\phi }+\frac{g}{l}\sin \phi =0.$$

В более общем случае дифференциальное уравнение имеет вид
$$a\ddot{q}+F(q)=0,$$

где
$$F(q)=\frac{\partial \mathrm{\Pi }}{\partial q}$$

представляет собой взятую с обратным знаком обобщенную восстанавливающую силу, являющуюся нелинейной функцией координаты $q$.

Зависимость $F(q)$ называют квазиупругой характеристикой. или характеристикой жесткости. На рис. 3.2 показаны некоторые нелинейные системы с одной степенью свободы и соответствующие им характеристики жесткости. Среди приведенных здесь характеристик можно выделить характеристики симметричные (рис. $3.2,a,\sigma ,в$ ) и несимметричные (рис. 3.2, ), характеристики с разрывами (рис. 3.2,в), характеристики гладкие (рис. 3.2,a) и ломаные (рис. $3.2,6,в,2$ ).