При обработке опытных виброграмм свободных затухающих колебаний чаще всего обнаруживается, что убывание амплитуд не следует закону геометрической прогрессии; это служит признаком того, что трение отличается от линейного.

Нелинейная зависимость сил трения от скорости может быть описана различными аналитическими выражениями. Примем, что обобщенная сила трения $Q_{*}$ пропорциональна $n$-й степени скорости, причем показатель степени $n
eq 1$ зависит от конкретных свойств силы трения; эту зависимость записывают в форме (0.6) или в эквивалентной форме
\[
Q_{*}=-b|\dot{q}|^{n-1} \dot{q} .
\]

В таком случае основное дифференциальное уравнение имеет вид
\[
a \ddot{q}+b|\dot{q}|^{n-1} \dot{q}+c q \equiv 0 .
\]

Точное решение этого нелинейного дифференциального уравнения получить в замкнутой форме невозможно, но существует ряд способов, позволяющих построить приближенное аналитическое описание движения. Изложим некоторые из них.

Метод энергетического баланса. Согласно этому методу предполагается, что искомое движение близко к гармоническому, но характеризуется медленно изменяющейся амплитудой и постоянной частотой, для которой можно принять значение $k$, соответствующее консервативной системе без трения. Таким образом, рассматривая какой либо один цикл колебаний и совмещая начало отсчета
Рис. 2.4

времени с моментом, когда отклонение достигает максимума (рис. 2.4), можно приближенно принять, что движение описывается функцией
\[
q=A(t) \cos k t,
\]

где $A(t)$ — медленно меняющаяся функция времени, т. е. $A T \ll A, A \ll A k$. Тогда в выражении обобщенной скорости
\[
\dot{q}=-A k \sin k t+A \cos k t
\]

можно пренебречь вторым слагаемым и приближенно принять
\[
\dot{q}=-A k \sin k t .
\]

По выражению (2.17) образуем обобщенную силу трения:
\[
Q_{*}=b(A k)^{n}|\sin k t|^{n-1} \sin k t .
\]

Работа силы трения за рассматриваемый цикл равна
\[
U=\int_{0}^{T} Q_{*} \dot{q} d t=-b k^{n+1} \int_{0}^{T}[A|\sin k t|]^{n+1} d t .
\]

В этом вычислении можно приближенно принять, что в течение рассматриваемого периода величина $A$ неизменна. Тогда получим
\[
U=-4 b(A k)^{n+1} \int_{0}^{T / 4} \sin ^{n+1} k t d t=-4 b A^{n+1} k^{n} \int_{0}^{\pi / 2} \sin ^{n+1} \psi d \psi .
\]

Входящий сюда интеграл обозначим буквой $I$; он выражается через гамма-функцию Г (эйлеров интеграл второго рода), для которой имеются готовые таблицы:
\[
I=\int_{0}^{\pi / 2} \sin ^{n+1} \psi d \psi=\frac{2^{n-2} n^{2} \Gamma\left(\frac{n}{2}\right)}{n(n+1) \Gamma(n)} .
\]

С помощью таких таблиц можно вычислить следующие значения $I$ в зависимости от показателя $n$ :

Окончательно имеем
\[
U=-4 b A^{n+1} k^{n} I(n) .
\]

Полученное выражение равно изменению энергии системы за рассматриваемый цикл. Так как в начале и конце рассматриваемого цикла кинетическая энергия равна нулю, то изменение полной энергии определяется изменением потенциальной энергии II; конечно, при вычислении этого изменения необходимо учесть разницу между наибольшими отклонениями $A(0)$ и $A(T)$.

В начале цикла $\Pi(0)=\frac{1}{2} c A^{2}(0)$. В конце цикла $\Pi(T)=\frac{1}{2} c A^{2}(T)$.

Следовательно, приращение (отрицательное) потенциальной энергии равно
\[
\Delta \Pi=\frac{1}{2} c\left[A^{2}(T)-A^{2}(0)\right]=\frac{1}{2} c[A(T)+A(0)][A(T)-A(0)] .
\]

Сумму, стоящую в правой части равенства в первых скобках, приближенно заменим через $2 A(0)$, а разность, входящую во вторые скобки, обозначим через $\Delta A$. Тогда

будет
\[
\Delta \Pi=c A \Delta A .
\]
(Здесь вместо $A(0)$ можно написать просто $A$.) Приравнивая работу (2.21) приращению энергии (2.22), получаем уравнение в конечных разностях
\[
-4 b A^{n+1} k^{n} I(n)=c A \Delta A,
\]

или
\[
\Delta A=-\frac{4 b(A k)^{n} I(n)}{c} .
\]

Это уравнение связывает приращение (отрицательное) амплитуды за один цикл со значением амплитуды в начале этого цикла. Рассматривая огибающую как непрерывную кривую, описываемую дифференцируемой функцией времени $A=A(t)$, приближенно примем
\[
\Delta A=T \frac{d A}{d t}=\frac{2 \pi}{k} \frac{d A}{d t} .
\]

Тогда уравнение в конечных разностях (2.23) примет вид дифференциального уравнения для огибающей:
\[
\frac{d A}{d t}=-\frac{2 b k^{n+1} I(n)}{\pi c} A^{n} .
\]

При интегрировании этого уравнения нужно различать два случая: когда $n=1$ и когда $n
eq 1$.

В случае $n=1$ (линейное трение) согласно $I=\pi / 4$, и уравнение (2.24) принимает форму
\[
\frac{d A}{d t}=-h A \text {. }
\]

Здесь $h=\frac{b k^{2}}{2 c}=\frac{b}{2 a}$. Решение линейного уравнения (2.25) имеет вид
\[
A=A_{0} e^{-h t},
\]

где $A_{0}$ имеет смысл начальной ординаты огибающей. Таким образом, при $n=1$ мы приходим к прежнему (точному) результату (2.10). Хотя это совпадение относится только к огибающей (из-за различия между $k$ и $k_{*}$ графики движения будут неодинаковыми), но это убедительно свидетельствует в пользу приемлемости метода энергетического баланса.

В случае $n
eq 1$ уравнение (2.24) нелинейно, но его точное решение затруднений не вызывает, так как переменные разделяются:
\[
\frac{d A}{A^{n}}=-\frac{2 b k^{n+1} I(n)}{\pi c} d t .
\]

После интегрирования при начальном условии $A(0)=A_{0}$ находим зависимость $A(t)$ :
\[
A=\frac{A_{0}}{\sqrt[n-1]{1+\frac{2 b(n-1) k^{n+1} I(n) A_{0}^{n-1}}{\pi c}} t} .
\]

Конкретный вид этой зависимости определяется значением показателя $n$.

Прежде всего остановимся на случае, когда $n=2$ (квадратическое трение); при этом из (2.28) получается
\[
A=\frac{A_{0}}{1+\frac{4 b k^{3} A_{0}}{3 \pi c} t}
\]
т. е. огибающая имеет вид гиперболы.
$\mathrm{C}$ помощью решения (2.28) можно получить огибающую и для другого важного частного случая, когда $n=0$. Согласно (2.17) этому случаю соответствует выражение
\[
Q_{*}=-b \frac{\dot{q}}{|\dot{q}|}
\]

определяющее силу кулонова трения, величина которой не зависит от величины ско-

Puc. 2.5 рости. Подставив $n=0$ в общее решение (2.28), получим
\[
A=A_{0}-\frac{2 b k}{\pi c} t
\]
т. е. убывание амплитуд следует линейному закону, а амплитуды образуют арифметическую прогрессию; этот результат также соответствует точному решению.

На рис. 2.5 показаны верхние огибающие для трех указанных выше значений $n$. Общий вид фазовых траек4 я, $\Gamma_{\text {, }}$ Пановко

торий такой же, как и в случае линейного трения (рис. 2.3,a).

Отметим, что при $n
eq 1$ отношение двух соседних наибольших отклонений непостоянно; отсюда можно заключить, что логарифмический декремент оказывается переменной величиной, зависящей от амплитуды:
\[
\Lambda=\ln \frac{A_{i}}{A_{i+1}}
\]

где $i$ — номер рассматриваемого цикла. Если, как это предполагалось выше, разность $\Delta A_{i}=A_{i+1}-A_{i}$ мала по сравнению с $A_{i}$, то можно записать’
\[
\Lambda=\ln \frac{A_{i+1}-\Delta A_{i}}{A_{i+1}}=\ln \left(1-\frac{\Delta A_{i}}{A_{i+1}}\right) \approx-\frac{\Delta A}{A} .
\]

Подставив сюда выражение (2.23), получим зависимость логарифмического декремента от амплитуды:
\[
\Lambda=\frac{4 b k^{n} I(n)}{c} A^{n-1} .
\]

Отсюда непосредственно видно, тто лишь при $n=1$ логарифмический декремент не зависит от амплитуды колебаний и остается неизменным в процессе колебаний. При
Рис. 2.6 $n=2$ в процессе затухающих колебаний логарифмический декремент убывает вместе с убыванием амплитуды, а при $n=0$ (кулоново трение), наоборот, он увеличивается с уменьшением амплитуды. Зависимости логарифмического декремента от амплитуды колебаний схематически показаны на рис. 2.6.
Метод медленно меняющихся амплитуд. Этот приближенный метод был предложен Ван дер Полем для широкого класса задач о колебаниях систем со слабой нелинейностью, когда дифференциальное уравнение движения можно представить в виде
\[
\ddot{q}+k_{0}^{2} q=f(q, \dot{q})_{\boldsymbol{s}}
\]

где $f(q, \dot{q})$ — функция, состоящая из относительно малых нелинейных членов. Например, в задаче о затухающих свободных колебаниях систем с нелинейным трением нужно переписать уравнение (2.18) в виде (2.32), положив
\[
f(q, \dot{q})=-\frac{b}{a}|\dot{q}|^{n-1} \dot{q} .
\]

Рассмотрим решение уравнения (2.32) по методу медленно меняющихся амплитуд для общего случая, а затем вернемся к частному случаю (2.33).

Решение дифференциального уравнения (2.32) разыскивается в виде
\[
q=A \cos \left(k_{0} t-\varphi\right),
\]

но предполагается, что $A$ и $\varphi$-функции времени.
В зависимости от свойств вновь введенных функций $A(t)$ и $\varphi(t)$ зависимость (2.34) может оказаться более или менее близкой к гармоническим колебаниям с частотой $k_{0}$. При постоянных $A$ и $\varphi$ выражение (2.34) совершенно точно описывает гармонические колебания. В случае, когда $A$ и $\varphi$ — «почти постоянные», т. е. медленно меняющиеся функции времени, выражение (2.34) описывает колебания с медленно меняющимися амплитудой и фазой; этот случай типичен для систем со слабой нелинейностью, в частности для рассматриваемых здесь систем.

Если подставить выражение (2.34) в основное уравнение задачи (2.32), то получится уравнение, содержащее две неизвестные функции $A$ и $\varphi$. Для определенности замены одной функции $q$ двумя функциями $A$ и $\varphi$ нужно указать какое-либо дополнительное соотношение между последними; Ван дер Поль предложил принять в качестве такого соотношения следующее:
\[
\dot{A} \cos \left(k_{0} t-\varphi\right)+\dot{A} \dot{\varphi} \sin \left(k_{0} t-\varphi\right)=0 .
\]

Если теперь продифференцировать выражение (2.34), то с учетом (2.35) получится весьма простое выражение для скорости:
\[
\dot{q}=-k_{0} A \sin \left(k_{0} t-\varphi\right),
\]
— такое же, как если бы величины $A$ и $\varphi$ были постоянными. Поэтому и выражение для ускорения окажется относительно простым и не будет содержать вторых

производных $\ddot{A}$ и $\ddot{\varphi}$ :
\[
\begin{array}{l}
\ddot{q}=-\dot{A} k_{0} \sin \left(k_{0} t-\varphi\right)-A k_{0}^{2} \cos \left(k_{0} t-\varphi\right)+ \\
\\
\quad+A k_{0} \dot{\varphi} \cos \left(k_{0} t-\varphi\right) .
\end{array}
\]

Подставив выражения (2.34), (2.36) и (2.37) в заданное уравнение (2.32), получим уравнение первого порядка
\[
-\dot{A} k_{0} \sin \psi+A k_{0} \dot{\varphi} \cos \psi=f\left[A \cos \psi,-A k_{0} \sin \psi\right],
\]

где $\psi=k_{0} t-\varphi$.
Из соотношений (2.35) и (2.38) можно найти следующие выражения для производных $\dot{A}$ и $\dot{\varphi}$ :
\[
\begin{array}{l}
\dot{A}=-\frac{1}{k_{0}} f\left[A \cos \psi,-A k_{0} \sin \psi\right] \sin \psi, \\
\dot{\varphi}=\frac{1}{A k_{0}} f\left[A \cos \psi,-A k_{0} \sin \psi\right] \cos \psi .
\end{array}
\]

До сих пор все выкладки были вполне строгими, и лишь теперь делается упрощение, вносящее некоторую приближенность в решение. Предполагая, что рассматриваемая система близка к линейной, мы можем считать, что переменные $A$ и $\varphi$ не успевают получить заметных приращений за один цикл $2 \pi / k_{0}$ и что производные $A$ и $\varphi$ постоянны в течение любого одного цикла. Поэтому, хотя эти производные выражаются сложными нелинейными функциями времени (2.39), не повлечет большой ошибки замена этих функций их средними за период $2 \pi / k_{0}$ значениями:
\[
\begin{array}{l}
\dot{A}=-\frac{1}{2 \pi k_{0}} \int_{0}^{2 \pi} f\left(A \cos \psi,-A k_{0} \sin \psi\right) \sin \psi d \psi, \\
\dot{\varphi}=\frac{1}{2 \pi A k_{0}} \int_{0}^{2 \pi} f\left(A \cos \psi,-A k_{0} \sin \psi\right) \cos \psi d \psi .
\end{array}
\]

Конечно, при интегрировании в правых частях величина $A$ считается постоянной. Именно эта операция усреднения составляет существо метода медленно меняющихся амплитуд.

Уравнения (2.40), запишем в более коротком виде:
\[
\dot{A}=\frac{\Phi(A)}{2 \pi k_{0}}, \quad \dot{\varphi}=\frac{\Psi(A)}{2 \pi k_{0} A}
\]
(укороченные уравнения Ван дер Поля), причем
\[
\begin{array}{l}
\Phi(A)=-\int_{0}^{2 \pi} f\left(A \cos \psi_{r}-A k_{0} \sin \psi\right) \sin \psi d \psi, \\
\Psi(A)=\int_{0}^{2 \pi} f\left(A \cos \psi,-A k_{0} \sin \psi\right) \cos \psi d \psi .
\end{array}
\]

Таким образом, нужно прежде всего вычислить интегралы (2.42) в предположении, что $A$ — постоянная величина. После этого интегрируются дифференциальные уравнения (2.41); конечно, на этом этапе выкладок уже признается, что величина $A$ — переменная.

Возвращаясь к задаче о свободных колебаниях систем с нелинейным трением, образуем с помощью (2.33) выражения (2.42):
\[
\begin{array}{r}
\Phi(A)=-\int_{0}^{2 \pi}\left\{-\frac{b}{a}\left|-A k_{0} \sin \psi\right|^{n-1}\left(-A k_{0} \sin \psi\right)\right\} \sin \psi d \psi= \\
=-\frac{4 b A^{n} k_{0}^{n}}{a} \int_{0}^{\pi / 2} \sin ^{n+1} \psi d \psi,
\end{array}
\]
$\Psi(A)=0$.
Интеграл, входящий в выражение $\Phi(A)$, уже встречался выше и был обозначен через $I(n)$ (см. (2.20)); следовательно
\[
\Phi(A)=-\frac{4 b A^{n} k_{0}^{n} I(n)}{a} .
\]

Теперь согласно (2.41) получаем укороченное уравнение
\[
\dot{A}=-\frac{2 b A^{n} k_{0}^{n-1} I(n)}{\pi a} \text {. }
\]

Если теперь заменить $a=c / k_{0}^{2}$ то мы вновь придем к уравнению (2.24), полученному выше методом энергетического балавса в предположении, что $k \approx k_{0}$. Следовательно, дальнейшее решение приведет вновь к уравнөнию для огибающей (2.28).

Хотя в данном случае метод медленно меняющихся амплитуд не дал новых результатов, но ниже мы увидим, что он окажется весьма полезным при решении других нелинейных задач.