В отличие от ранее рассмотренных в этом

параграфе случаев задача о вынужденных колебаниях систем с кусочно-линейными характеристиками в принципе допускает точное решение, которое соответствует сказанному в § 3 , где речь шла о свободных колебаниях. Здесь, при анализе вынужденных колебаний также нужно поочередно решить ряд линейных задач, соответствующих прямым участкам характеристики, расположенным
Рис. 7.4

между точками перелома. Для определения постоянных интегрирования служат условия перехода от этапа к этапу, а также условия периодичности.

Проследим применение этого способа на случае вынужденных колебаний системы, показанной на рис. 7.4,a. Эта виброударная система (модель Русакова – Харкевича) состоит из груза 1 , упругого элемента 2 и одностороннего ограничителя 3 , установленного с зазором $b$. На груз действует гармоническая вынуждающая сила, которая вызывает колебания, достаточно значительные для того, чтобы происходили удары груза об ограничитель.

Отсчет перемещений груза будем вести от положения, в котором пружина не деформирована. Начало отсчета времени совместим с моментом непосредственно после какого-либо удара груза об ограничитель. При этом гармоническую вынуждающую силу запишем в виде $H \sin (\omega t+\gamma)$, полагая $H$ п $\omega$ известными, а начальную фазу $\gamma$ неизвестной. Кусочно-линейная характеристика этой системы состоит из двух полупрямых (рис. 7.4,б).

Примем, что при ударе груза об ограничитель скорость груза мгновенно меняется, следуя соотношению
\[
\dot{x}(0)=-R \dot{x}(-0),
\]

где $R$ – коэффициент восстановления; аргумент (-0) означает момент времени, непосредственно предшествующий удару.

Не рассматривая всех возможных движений, исследуем возможность существования строго периодического режима периода $T$, равного периоду $2 \pi / \omega$ вынуждающей силы. Еще до составления и решения уравнений задачи можно ожидать, что движение будет происходить в общих чертах так, как показано на рис. 7.4, 8 ; через равные промежутки времени $T$ происходят удары об ограничитель, сопровождаемые сменой знака скорости.
Рассмотрим один период движения, в начале которого
\[
x(0)=-b \text {. }
\]

Кроме того, можно записать следующие условия периодичности:
\[
\begin{array}{c}
x(T)=x(0), \\
\dot{x}(T-0)=\dot{x}(-0) .
\end{array}
\]

Условия (7.28), (7.29) вместе с условием (7.27) позволяют найти все постоянные, которые войдут в решение задачи. Исключим скорость $\dot{x}(-0)$ из (7.26) с помощью соотношения (7.29); тогда получится связь между скоростями в начале шериода и в его конце (т. е. непосредственно перед следующим ударом):
\[
\dot{x}(0)=-R \dot{x}(T-0) .
\]

Решение основного дифференциального уравнения, записанного для интервала движения между двумя ударами,
\[
m \ddot{x}+c x=H \sin (\omega t+\gamma),
\]

имеет вид
\[
x=C_{1} \sin k t+C_{2} \cos k t+\frac{H \sin (\omega t+\gamma)}{m\left(k^{2}-\omega^{2}\right)} .
\]

Отсюда следует, что скорость меняется по закону
\[
\dot{x}=C_{1} k \cos k t-C_{2} k \sin k t+\frac{H \omega \cos (\omega t+\gamma)}{m\left(k^{2}-\omega^{2}\right)} .
\]

Из условий (7.27), (7.28) и (7.30) находим
\[
\begin{array}{l}
C_{2}+\frac{H \sin \gamma}{m\left(k^{2}-\omega^{2}\right)}=-b, \\
C_{1} \sin k T+C_{2} \cos k T+\frac{H \sin (\omega T+\gamma)}{m\left(k^{2}-\omega^{2}\right)}=-b, \\
C_{1} k+\frac{H \omega \cos \gamma}{m\left(k^{2}-\omega^{2}\right)}= \\
\quad=-R\left[C_{1} k \cos k T-C_{2} k \sin k T+\frac{H \omega \cos (\omega T+\gamma)}{m\left(k^{2}-\omega^{2}\right)}\right] .
\end{array}
\]

В этих трех уравнения содержатся три неизвестные величины: постоянные $C_{1}$ п $C_{2}$, а также начальная фаза $\gamma$ вынуждающей силы. Пусть, например, $b=0$; тогда, учитывая, что $\sin (\omega T+\gamma)=\sin \gamma, \cos (\omega T+\gamma)=\cos \gamma$, после решения уравнений найдем
\[
\begin{aligned}
\operatorname{tg} \gamma & =\frac{(1+R)}{(1-R)} \operatorname{ctg} \frac{k T}{2} \frac{\omega}{k}, \\
C_{1} & =-\frac{H \sin \gamma}{m\left(k^{2}-\omega^{2}\right)} \operatorname{tg} \frac{k T}{2}, \\
C_{2} & =-\frac{H \sin \gamma}{m\left(k^{2}-\omega^{2}\right)} .
\end{aligned}
\]

Теперь можно записать закон движения, справедливый для интервала времени $0<t<T$ (на других интервалах времени движение полностью повторяется):
\[
x=\frac{H}{m\left(k^{2}-\omega^{2}\right)}[\sin (\omega t+\gamma)-\sin \gamma \cos k t-
\]
$\left.-\sin \gamma \sin k t \operatorname{tg} \frac{k T}{2}\right]$.
Конечно, приведенное исследование колебаний виброударной системы недостаточно полно. Во-первых, формальная возможность режима колебаний с периодом $T$ еще не означает его физической осуществимости – для этого необходимо, чтобы такой режим был устойчивым. Во-вторых, в подобных системах наряду с изученным режимом возможны периодические режимы с периодами вдвое, втрое и т. д. большими (субгармоники), и следовало бы также исследовать их существование и устойчивость. Именно так ставятся и решаются задачи о работе различных виброударных механизмов.