Всюду выше было принято, что вынуждающие силы заданы как детерминированные функции времени. Такая постановка задач теории вынужденных колебаний приемлема, когда случайные составляющие внешних сил (практически всегда неизбежные) относительно малы по сравнению с основными, детерминированными составляющими. Но в ряде прикладных задач весьма значительные вынуждающие силы в принципе не поддаются удовлетворительному детерминистическому описанию и должны считаться случайными функциями времени. Таковы, например, нагрузки на рабочие органы многих строительных и сельскохозяйственных машин, ветровые нагрузки на здания и инженерные сооружения и т. п. Со случайными функциями времени приходится иметь дело и в некоторых задачах о кинема-
*) Предполагается, что читатель знаком с основными понятиями теории вероятностей.

тическом возбуждении, например при апализе колебаний автомобиля, движущегося по неровной дороге, или при расчетах конструкций на сейсмические нагрузки.

Теория случайных вынужденных колебаний посвящена решению задач следующих тетырех типов:
1) отыскание вероятшостных характеристик движения системы по заданным вероятпостным характеристикам внешнего воздействия ( прямая задача);
2) отыскание вероятностных характеристик внешних воздействий по известным (әкспериментально найденным) вероятностным характеристикам вибраций (обратная задача);
3) определение свойств системы (ее оператора п параметров) по известным (экспериментальпо найденным) вероятностным характеристикам на входе и выходе системы (задача идентификации);
4) синтез систем, обладающих заданными свойствами по отношению к некоторому классу внешних воздействий (задача синтеза, часто являющаяся задачей оптимизауии).

Очень коротко остановимся на первой задаче применительно к вынужденным колебаниям линейной механической системы с одной степенью свободы.

В практических условиях случайные вынуждающие силы нередко обнаруживают определенную однородность относительно времени, они колеблются около среднего неизменного значения, причем ни их средняя амплитуда, ни общий характер заметных изменений во времени не претерпевают. Однородны во времени и некоторые виды случайного кинематического возбуждения, как, например, воздействие неровностей дороги на движущийся по ней автомобиль, конечно, при условии, что на большом протяжении качество покрытия остается практически неизменным, а автомобиль движется с постоянной скоростью.

Такие воздействия с постоянными вероятностными характеристиками относятся к категории стационариых случайных процессов. В эту категорию входят и результаты таких воздействий, т. е. вызванные ими колебания механических систем (имеются в виду колебания около устойчивого состояния равновесия).

Из стационарной случайной функции, описывающей вынуждающую силу, всегда можно выделить и вычесть ее математическое ожидание, постоянное вследствие ста10 я, г, пановко

ционарности функции; после этого рассматривается переменный «остаток»- центрированная случайная функция $\grave{Q}(t)$. Выразительной характеристикой ее свойств служит корреляционная функция – математическое ожидание произведения $\grave{Q}(t) \grave{Q}(t+\tau)$, сомножители которого относятся к двум моментам времени, разделенным промежутком $\tau$. Эта функция оценивает степень зависимости между «сечениями» случайной функции в различные моменты времени. Если случайная функция действительно стационарна, то результаты вычислений не могут зависеть от выбора момента времени $t$, а будут зависеть только от абсолютной величины $|\tau|$.

В практических случаях корреляционную функцию $k_{Q}(\tau)$ получают путем обработки данных натурных наблюдений и часто представляют в виде несложных аналитических выражений типа
\[
D e^{-\alpha|\tau|}, \quad D e^{-\alpha \tau^{2}}, \quad D e^{-\alpha|\tau|} \cos \beta t, \quad D e^{-\alpha \tau^{2}} \cos \beta t
\]

с соответственно подобранными значениями параметров $D, \alpha, \beta$. Отметим, что в ходе такой обработки контролируется сама стационарность изучаемого процесса – по признаку независимости математического ожидания произведений $\grave{Q}(t) \grave{Q}(t+\tau)$ от выбора значений $t$. Разумеется, что для заведомо стационарного случайного процесса корреляционную функцию можно определять как математическое ожидание произведения $\stackrel{\circ}{Q}(0) \stackrel{\circ}{Q}(\tau)$. Значение корреляционной функции при $\tau=0$ представляет собой математическое ожидание квадрата стационарной случайной функции, т. е. ее дисперсию $k_{Q}(0)=D$.

IІр обсуждении детерминированных задач теории вынужденных колебаний в пг. 5 § 5 и п. 5 § колебательный процесс был представлен в виде суммы гармонических колебаний различных частот. Распределение амплитуд по различным частотам (дискретный или непрерывный амплитудный спектр) дает возможность судить о том, какого рода колебания доминируют в рассматриваемом процессе, какова его внутренняя структура. Такие спектральные представления могут относиться и к вынуждающей силе, и к координате системы $q(t)$.

Аналогично этому стационарный случайный процесс также может быть описан суммой гармонических составляющих, но их амплитуды будут случайными величина-

ми. Спектром стационарной случайной функции принято называть распределение дисперсий по всем частотам. Если спектр непрерывный, то его описывают функцисй $S(\omega)$ – спектральной плотностью дисперсии стационарной случайной функции (часто слово «дисперсия» в этом наименовании опускают). Между спектральной плотностью $S(\omega)$ и корреляционной функцией $k(\tau)$ существуют соотношения
\[
\begin{aligned}
k(\tau) & =\int_{0}^{\infty} S(\omega) \cos \omega \tau d \omega, \\
S(\omega) & =\frac{2}{\pi} \int_{0}^{\infty} k(\tau) \cos \omega \tau d \tau,
\end{aligned}
\]

определяющие прямое и обратное косинус-преобразования Фурье.

Если в (6.63) положить $\tau=0$, то для дисперсии стационарной случайной функции получится
\[
D=k(0)=\int_{0}^{\infty} S(\omega) d \omega .
\]

Таким образом, если корреляционная функция $k_{Q}(\tau)$ известна (задана, найдена), то по выражению (6.64) находптся спектральная плотность $S_{Q}(\omega)$ и можно перейти к определению колебаний механической системы, вызванных действием случайной силы. Здесь основным является соотношение
\[
S_{q}(\omega)=|W|^{2} S_{Q}(\omega),
\]

связывающее спектральную плотность колебаний системы $S_{q}(\omega)$ со спектральной плотностью вынуждающей силы. В этом соотношении $W$ – частотная характеристика системы, которая для силового возбуждения была дана выше выражением (6.29), так что
\[
|W|^{2}=\frac{1}{\left(c-a \omega^{2}\right)^{2}+(b \omega)^{2}} .
\]
$10^{*}$

После вычисления $S_{q}(\omega)$ по выражению (6.66) можно найти дисперсию обобщенной координаты
\[
D_{q}=\int_{0}^{\infty} S_{q}(\omega) d \omega,
\]

И, наконец, среднеквадратическое значение величины $q$ :
\[
\sigma_{q}=\sqrt{D_{q}} .
\]