В курсах механики указаны основные типы сил, которые могут действовать на материальную точку; силы, зависящие от времени; силы, зависящие от положения точки; силы, зависящие от скорости точки.

В большинстве случаев к этим типам сводятся и те обобщенные силы, которые действуют при колебаниях механических систем. Рассмотрим их подробнее, ограничиваясь здесь системами с одной степенью свободы.

Обобщенные вынуждающие силы – внешние силы типа $Q(t)$, являющиеся заданными функциями времени; такие силы служат причиной вынужденных колебаний. Источники возникновения вынуждающих сил весьма разнообразны: периодически изменяющиеся силы давления газовой смеси в цилиндрах двигателей внутреннего сгорания, инерционные эффекты в вибровозбудителях, переменное притяжение электромагнитов и др. Весьма различны и законы их изменения зо времени, хотя в практике наиболее часто встречаются периодические вынуждающие силы. Иногда вынуждающие силы не детерминированы, а представляют собой слутайные функции времени (случайные процессы).

В некоторых случаях возбуждение колебаний задается кинематически, когда каким-либо тоткам системы «предписано» некоторое определенное движение – оно также может быть детерминированным илі случайным процессом. В частности, кинематическим является возбуждение колебаний автомобиля или железнодорожного вагона при движении по неровному пути. Как будет показано пиже, любое кинематическое возбуждение может быть представлено в виде некоторого эквивалентного силового возбуждения, т. е. заменено действием соответствующих сил.

Обобщенные позиционные силы – силы, зависящие от положения (конфигурации) системы, т. е. от обобщенных координат. Среди позиционных сил особое знатение имеют восстанавливающие силь, т. е. сплы, возникающие при отклонениях системы от положения равновесия и направленные так, чтобы вернуть систему в это положение. Именно восстанавливающие силы обусловливают собственные колебательные свойства механических спстем – их способность совершать свободные колебания.

В механических системах с упругими элементами восстанавливающие силы возникают вследствие деформирования этих элементов при колебаниях (упругие силы). В других случаях роль восстанавливающей силы может играть сила тяжести (маятник) или архимедова сила (корабль).

Зависимости восстанавливающих сил от обобщенных координат, как правило, нелинейны; однако при иссле-

довании малых колебаний – что во многих случаях достаточно – таще всего допустима линеаризация таких зависимостей. Для системы с одной степенью свободы линейная восстанавливающая сила всегда может .быть записана в виде
\[
Q(q)=-c q,
\]

где $q$-обобщенная координата, $c$-обобщенный коэффициент жесткости. Например, если для маятника (рис. $0.1, a$ ) принять за обобщенную координату угол от-
Рис. 0.8 клонения от вертикали, то обобщенная сила (момент силы тяжести) равна $-m g l \sin q \approx$ $\approx-m g l q$, т. e.
\[
c=m g l \text {. }
\]

Иногда обобщенная восстанавливающая сила возникает вследствие одновременного влияния двух различных причин. Таков, например, упруго закрепленный маятник (рис. $0.8, a)$, для которого
\[
c=c_{0} l^{2}+m g l
\]

где $c_{0}$ – коәффициент жесткости пружины, т. е. статическая сила, способная вызвать удлинение пружины на единицу длины. Эти влияния могут быть противоположными по направлению; так, для опрокинутого маятника (рис. 0.8, б)
\[
c=c_{0} l^{2}-m g l .
\]

Если пруяина имеет малую жесткость, такую, что $c_{0} l<$ $<m g$, то обобщенный коэффициент жесткости оказывается отрицательным, т. е. суммарная позиционная сила не является восстанавливающей.

Обобщенные силы трения зависят от обобщенных скоростей (по крайней мере от их знака) и направлены противоположно движению. Силы трения возникают в сочленения звеньев и опорах механической системы, а также в материале ее звеньев. $\mathrm{K}$ этой категории также относятся силы сопротивления среды (жидкости, газа), в которой происходят колебания; такие и им подобные силы ниже условно также называются силами трения. Особенно значительно трение в дсмпферах, которые спе-

циально вводятся в механические системы для гашения колебаний. Чаще всего силы трения препятствуют развнтию колебаний, например, служат причиной затухания свободных колебаний; механические системы, в которых действуют такие силы, называются диссипативными. В некоторых случаях силы трения оказывают противоположное действие и возбуждают колебания (в автоколебательных системах – см. главу IV).

Зависимость обобщенной силы трения от обобщенной скорости наиболее часто представляют в одной из следующих форм (для диссипативных систем с одной степенью свободы) :
сила линейного трения
\[
Q(\dot{q})=-b \dot{q}
\]

кулонова сила трения *)
\[
Q(\dot{q})=-b \operatorname{sign} \dot{q}
\]

сила нелинейно-вязкого трения, обычно аппроксимируемая зависимостью
\[
Q(\dot{q})=-b|\dot{q}|^{n} \operatorname{sign} \dot{q}
\]

пли зависимостью
\[
Q(\dot{q})=-b_{1} \dot{q}-b_{3} \dot{q}^{3}-b_{5} \dot{q}^{5}-\ldots
\]

В некоторых системах действуют силь смешанного характера. Таковы, например, силы $Q(q, t)$, зависящие от координат и времени, которые нельзя представить в виде суммы позиционной силы и вынуждающей силы; эти силы характерны для параметрических систем, о которых кратко было уже сказано выше. Смешанным характером обладают также силы $Q(q, \dot{q})$, зависящие от координат и скоростей и притом непредставимые в виде суммы позиционной силы и силы трения; иногда такие силы пршдают механической системе автоколебательные свойства.

Прп составлепии механической модели большое значение имеет разумное пренебрежение несущественными составляющими сил, а для учитываемых в анализе составляющих – правильная схематпзация их свойств. Так,
*) Здесь имеется в виду простейший вид закона кулонова трепин, в котором не учитывается разница между коэффициептами трения покоя и трения движения.
2 я. г. пановно

при определении собственных частот механических систем в большинстве случаев допустимо пренебречь действием сил трения; ими можно пренебречь и при исследовании вынужденных колебаний в достаточном удалении от резонанса. Аналогично этому, если рассматриваются малые колебания, то часто можно пе учитывать нелинейность восстанавливающих сил.

Впрочем, подобные упрощения нужпо делать осторөжно, имея в виду, что, казалось бы, малые влияния иногда могут явиться причиной важных следствий принципиального характера. Так, даже весьма малые силы трения необходимо учитывать при анализе затухания свободных колебаний, а также при определении резонансных или околорезонансных амплитуд вынужденных колебаний. Подобно этому нужно помнить, что даже малые параметрические силы могут вызвать весьма опасиые колебания типа параметрического резонанса (см. главy III).