Если условия (4.3) устойтивости состояния равповесия выполнены, то частное решение системы дифференциальных уравнепий (4.26) можно записать в виде
\[
q_{j}=A_{j} \sin (k t+\alpha) \quad(j=1,2, \ldots, s) .
\]

Этими выражениями описывается монотармопитеский колебателыный режим с частотой $k$, общей для всех координат $q_{j}$.

Подставив (4.27) в уравнения (4.4), получим систему алгебраических уравнений
\[
\begin{array}{c}
-k^{2} a_{11} A_{1}-k^{2} a_{12} A_{2}-\ldots-k^{2} a_{1 s} A_{s}+c_{11} A_{1}+ \\
+c_{12} A_{2}+\ldots+c_{1 s} A_{s}=0, \\
-k^{2} a_{21} A_{1}-k^{2} a_{22} A_{2}-\ldots-k^{2} a_{2 s} A_{s}+c_{21} A_{1}+ \\
+c_{22} A_{2}+\ldots+c_{2 s} A_{s}=0, \quad \text { (4.28) } \\
\text {. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . } \\
-k^{2} a_{s 1} A_{1}-k^{2} a_{s 2} A_{2}-\ldots-k^{2} a_{s s} A_{s}+c_{s 1} A_{1}+ \\
+c_{s 2} A_{2}+\ldots+c_{s s} A_{s}=0,
\end{array}
\]

однородную относительно неизвестных амплитуд $A_{1}$, $A_{2}, \ldots, A_{s}$. При колебаниях все они не могут равнятьея нулю; поэтому, согласно общему свойству однородных систем, должен равняться пулю определитель, составленный пз коэффициентов этой спстемы:

После развертывания определителя получится алгебраическое уравнение $s$-й степени относительно $k^{2}$; напишем это частотное уравнение в виде
\[
b_{0}-b_{1} k^{2}+b_{2} k^{4}-b_{3} k^{6}+\ldots+(-1)^{s} b_{s} k^{2 s}=0 ;
\]

при указанной расстановке знаков все коэффициенты $b_{j}$ оказываются положительными. Число корней частотного уравнения равно $s$; эти корни, обозначаемыс далее $k_{1}^{2}$, $k_{2}^{2}, \ldots, k_{s}^{2}$, принято располагать в порядке возрастания. Для рассматриваемых систем, совершающих движение около состояния устойчивого равновесия, все эти корни вещественны и положительны *). Таким образом, для частот $k$ определяется $s$ значений:
\[
k_{1}<k_{2}<k_{3}<\ldots<k_{s},
\]

об̈разующих спектр собствениых частот спстемы. (Отрпцательные корни можно не рассматривать, так как соответствующие им частиые решения типа $A^{\prime} \sin (-k t)$ попросту сливаются с частными решениями $A \sin k t$.)

Для системы с двумя степенями свободы тастотное уравпение оказывается биквадратным:
\[
\begin{aligned}
\left(a_{11} a_{22}-a_{12}^{2}\right) k^{4}-\left(a_{11} c_{22}+a_{22} c_{11}\right. & \left.-2 a_{12} c_{12}\right) k^{2}+ \\
& +\left(c_{11} c_{22}-c_{12}^{2}\right)=0,
\end{aligned}
\]

и имеет два положительных корня $k_{1}{ }^{2}$ и $k_{2}{ }^{2}$, лежащих в пнтервалах
\[
0<k_{1}^{2} \leqslant \frac{c_{11}}{a_{11}}, \quad \frac{c_{22}}{a_{22}} \leqslant k_{2}^{2}<+\infty .
\]

Если обобщепные координаты – главные, т. е. выбраны так, что $a_{12}=0, c_{12}=0$, то корни частотного уразнения окажутся равными
\[
k_{1}=\sqrt{\frac{c_{11}}{a_{11}}}, \quad k_{2}=\sqrt{\frac{c_{22}}{a_{22}}} .
\]

Вернемся к расмотрению общего случая. Каждому корню $k_{i}$ соответствует частное решение типа (4.27), следовательно, общее рещение представит собой сумму
*) Если после решения уравнения (4.30) выяснится противное, то это будет означать нарушение условий (4.3), т. е. неустойчивость состояния равновесия.
6*

таких решений:
\[
\begin{array}{c}
q_{j}=A_{j 1} \sin \left(k_{1} t+\alpha_{1}\right)+A_{j 2} \sin \left(k_{2} t+\alpha_{2}\right)+\ldots \\
\ldots+A_{j s} \sin \left(k_{s} t+\alpha_{s}\right) \quad(j=1,2, \ldots, s),
\end{array}
\]

где букве $A$ тенерь приписаны два индекса: первый попрежнему обозначает помер координаты, а второй – номер собственной частоты. Коротко решение можно записать в виде
\[
q_{j}=\sum_{i=1}^{s} A_{j i} \sin \left(k_{i} t+\alpha_{i}\right) \quad(j=1,2, \ldots, s) .
\]

Таким образом, жак правило (т. е. при произвольных начальных условиях), изменение каждой из обобщенных координат следует полигармоническому закону, причем qисло гармонических составляющих равно числу степеней свободы системы. Отметим, тто если собственные частоты несоизмеримы (как это нередко бывает в реальных задачах), то процесс, описываемый выражением (4.33), строго говоря, н е периодиче ский.

При близости хотя бы двух собственных частот общий закон движения оказывается весьма своеобразным. Рассмотрим систему с двумя степенями свободы, причем $k_{1} \approx k_{2}$. Топда, например, для первой обобщенной координаты имеем
\[
q_{1}=A_{11} \sin \left(k_{1} t+\alpha_{1}\right)+A_{12} \sin \left(k_{2} t+\alpha_{2}\right) .
\]

Если ввести обозначения
\[
\begin{array}{l}
B_{1,2}=\frac{1}{2}\left(A_{11} \cos \alpha_{1} \pm A_{12} \cos \alpha_{2}\right), \\
B_{3,4}=\frac{1}{2}\left(A_{11} \sin \alpha_{1} \pm A_{12} \sin \alpha_{2}\right),
\end{array}
\]

то вместо (4.34) можно записать
$q_{1}=B_{1}\left(\sin k_{1} t+\sin k_{2} t\right)+B_{2}\left(\sin k_{1} t-\sin k_{2} t\right)+$
\[
+B_{3}\left(\cos k_{1} t+\cos k_{2} t\right)+B_{4}\left(\cos k_{1} t-\cos k_{2} t\right) \text {. }
\]

Заменяя суммы и разности тригонометрических функций произведениями таких фупкций, получим
\[
\begin{aligned}
q_{1}=2 B_{1} \sin \frac{k_{1}+k_{2}}{2} t \cos \frac{k_{1}-k_{2}}{2} t+2 B_{2} \sin \frac{k_{1}-k_{2}}{2} t \times \\
\times \cos \frac{k_{1}+k_{2}}{2} t+2 B_{3} \cos \frac{k_{1}+k_{2}}{2} t \cos \frac{k_{1}-k_{2}}{2} t- \\
-2 B_{4} \sin \frac{k_{1}+k_{2}}{2} t \sin \frac{k_{1}-k_{2}}{2} t .
\end{aligned}
\]

Заметим, что фунции аргумента $\frac{k_{1}-k_{2}}{2} t$ меняются медленно по сравнепию с функциями аргумента $\frac{k_{1}+k_{2}}{2} t$. Iюютому вместо (4.37) удобно записать
\[
q_{1}=D_{1} \sin k t+D_{2} \cos k t
\]

где
\[
k=\frac{k_{1}+k_{2}}{2}
\]
– среднее значение двух близких частот $k_{1}$ и $k_{2}$,
\[
\begin{array}{l}
D_{1}=2\left(B_{1} \cos \frac{\Delta k}{2} t-B_{4} \sin \frac{\Delta k}{2} t\right), \\
D_{2}=2\left(B_{2} \sin \frac{\Delta k}{2} t+B_{3} \cos \frac{\Delta k}{2} t\right)
\end{array}
\]
– медленно меняющиеся периодические функции временін; чих частота $\frac{\Delta k}{2}=\frac{k_{1}-k_{2}}{2}$.
Окончательно паходим вместо (4.34)
\[
q_{1}=A_{*} \sin \left(k t+\alpha_{*}\right),
\]

где
\[
A_{*}=\sqrt{D_{1}^{2}+D_{2}^{2}}, \quad \alpha_{*}=\operatorname{arctg} \frac{D_{1}}{D_{2}}
\]
– медленно мепяющисся функции времени. Таким образом, движение носит синусоидальный характер с
Рис. 4.5

периодически медленно меняющейся амплитудой; график этого движения показан на рис. 4.5. Период изменения амплитуды составляет
\[
T_{*}=\frac{2 \pi}{\Delta k / 2}=\frac{4 \pi}{k_{1}-k_{2}}
\]

и тем больше, чем ближе тастоты $k_{1}$ и $k_{2}$. Tакие колебания называются биениями.

Движение, соответствующее второй обобщенной кординате $q_{2}$, также представляет собой биения, но сдвинутые по фазе относительно движония $q_{1}$.

Пример 4.2. Найти сойственшые частоты для системы, рассмотренной выше в примере 4.1.

Подставляя решение (4.2ї) в найденные ранее дифференциальные уравнения (стр. 82), получим однородную систему
\[
\begin{aligned}
\left(\frac{m l^{3}}{3 E J} k^{2}-1\right) A_{1}+m \rho^{2} \frac{l^{2}}{2 E J} k^{2} A_{2} & =0, \\
\frac{m l^{2}}{2 E J} k^{2} A_{1}+\left(\frac{m \rho^{2} l}{E J} k^{2}-1\right) A_{2} & =0 .
\end{aligned}
\]

Далее составляем определитель
\[
\left|\begin{array}{cc}
\frac{m l^{3}}{3 E J} k^{2}-1 & \frac{m \rho^{2} l^{2}}{2 E J} k^{2} \\
\frac{m l^{2}}{2 E J} k^{2} & \frac{m \rho^{2} l}{E J} k^{2}-1
\end{array}\right|=0,
\]

после развертывапия которого получим частотное уравнение
\[
\frac{m^{2} \rho^{2} l^{4}}{12(E J)^{2}} k^{4}-\left(\frac{m \rho^{2} l}{E J}+\frac{m l^{3}}{3 E J}\right) k^{2}+1=0 .
\]

Его корни (дия $\rho \ll l$ ) имеют вид
\[
k_{1}^{2}=\frac{3 E J}{m l^{3}}\left(1-\frac{9 \rho^{2}}{4 l^{2}}\right), \quad k_{2}^{2}=\frac{9 E J}{m l^{3}}\left(1+\frac{4 l^{2}}{9 \rho^{2}}\right) .
\]