Если вернуться к системе уравнений (4.28) и подставить в нее какой-либо $i$-й корень частотното уравнения, то одпо пз уравнений станет следствием остальных, т. е. независимых уравнений остается только $s-1$; сказанное вытакает пз общих свойств однородных систем алгебраических уравнений. Эти уравнения связывают между собой $s$ амплитуд $A_{1 i}, A_{2 i}, \ldots, A_{\text {si }}$ и позволяют выразить все амплитуды через какую-либо одну из них, например через первую. Совокупность отношений
\[
\varkappa_{2 i}=\frac{A_{2 i}}{A_{1 i}{ }^{i}} \quad \chi_{3 i}=\frac{A_{3 i}}{A_{1 i}}, \quad \ldots, \quad x_{s i}=\frac{A_{s i}}{A_{1 i}}
\]

определяет относительные амплитуды рассматриваемой $i$-й гармоники, т. е. описывает конфигурацию с истемы в процессе свободных колебапий с $i$-й собственной частотой; эта конфигурация определена с точностью

до одного шроизвольнопо мшожителя, т. е. масштаб конфигурации остается неопределенным.

Такие конфигурации системы зависят только от свойств самой системы и называются собственными формами; каждому корню частотного уравнения соответствует своя собственная форма, определяемая отношениями (4.44), т. е. тисло собствснных форм равно тислу стеленей свободы системы.

Величины $x_{j i}$ пазываются коэффициентами собствениых форм; они определяются только параметрами самой системы (коэффициенты формы не обязательно безразмерные величины, так как обобщенные координаты могут иметь разлитную размерность). Так как общий масштаб каждой из собственных форм произвльный, можно один (любой) коәффнциент формы полоянть равным едипице. Число остальных коәффниентов $\chi_{j i}$ равно $s-1$ для каждой собственной формы, т. е. составляет $s(s-1)$ для всех собственных форм.

Общсе решение (4.33) с помощью коэффицентов формы занисьнается в виде
\[
\begin{array}{c}
q_{j}=\sum_{i=1}^{s} x_{j i} A_{1 i} \sin \left(k_{i} t+\alpha_{i}\right) \\
\left(j=1,2, \ldots, s, x_{1 i}=1 ; i=1,2, \ldots, s\right),
\end{array}
\]
т. е. содержит $2 s$ постоянных ( $s$ амплитуд $A_{1 i}$ и столько же начальных фаз $\alpha_{i}$ ); для определения этих постоянных служат $2 s$ начальных условий, выражающих значения обобщенных координат и обобщенньх скоростей в начальный момент.

Если подставить какое-либо $i$-е частное решение в систему (4.9), то получим следующие соотношения:
\[
\begin{array}{c}
-a_{j} k_{i}^{2} \varkappa_{j i}+\sum_{r=1}^{s} c_{j r} \chi_{r i}=0 \\
(j=1,2, \ldots, s ; i=1,2, \ldots, s) .
\end{array}
\]

Апалогично, после подстаповки $i$-го частного решения в спстему (4.10) найдем
\[
\begin{array}{c}
-k_{i}^{2} \sum_{r=1}^{s} a_{j r} x_{r i}+c_{j} x_{j i}=0 \\
(j=1,2, \ldots, s ; i=1,2, \ldots, s) .
\end{array}
\]

Эти соотношения будут использованы ниже, в п. 3 § 8 .

Пример 4.3. Найти собственные частоты и собственные формы для сизтемы, показанной на рис. 4.1, шриняв для примера $c_{1}=$ $=c_{2}, \quad m_{1}=m_{2}=m$. ІІдставим ренепия (4.27) в полученпые выше дифференциальпые уравнения (4.5), положив $q_{1}=x_{1}, q_{2}=$ $=x_{2}$; тогда получим
\[
\begin{aligned}
\left(2 c_{0}-m k^{2}\right) A_{1}-c_{0} A_{2} & =0, \\
-c_{0} A_{1}+\left(c_{0}-m k^{2}\right) A_{2} & =0 .
\end{aligned}
\]

Из равенства нулю определителя
\[
\left|\begin{array}{cc}
2 c_{0}-m k^{2} & -c_{0} \\
-c_{0} & c_{0}-m k^{2}
\end{array}\right|=0
\]

следует частотное уравпепие
\[
k^{4}-3 \frac{c_{0}}{m} k^{2}+\frac{c_{0}^{2}}{m^{2}}=0 .
\]

Отсюда находим два корпя:
\[
k_{1,2}^{2}=\frac{c_{0}}{2 m}(3 \pm \sqrt{5}) \text {, }
\]
T. e.
\[
k_{1}^{2}=0,382 \frac{c_{0}}{m}, \quad k_{2}^{2}=2,618 \frac{c_{0}}{m} .
\]

Положив $x_{11}=x_{12}=1$, для определения остальных коэффициентов собственных форм воспользуемся первым из уравнепий (а) (то же можно получить и из вто-
Рис. 4.6 рого уравнения):
\[
\begin{array}{c}
x_{21}=\frac{2 c_{0}-m k_{1}^{2}}{c_{0}}=1,618, \\
x_{22}=\frac{2 c_{0}-m k_{2}^{2}}{c_{0}}=-0,618 .
\end{array}
\]

Соответствующие собственные формы показапы па рис. 4.6, $a$, б.
Полученные выше общие соотношения можно записать короче в матричной форме.
Вместо уравнения (4.4) имесм
\[
[a]\{\ddot{q}\}+[c]\{q\}=0,
\]

где $\{q\}$ – матрица-столбец (4.15),

– симметричная матрица инерционных коэффициентов,
\[
[c]=\left[\begin{array}{cccc}
c_{11} & c_{12} & \cdots & c_{1 s} \\
c_{21} & c_{22} & \cdots & c_{2 s} \\
\cdot & \cdot & \cdots & \cdot \\
c_{s 1} & c_{s 2} & \cdots & c_{s s}
\end{array}\right]
\]
– симметричная матрица коэффициентов жесткости. Решение уравнения (4.48) будем искать в виде
\[
\{q\} \rightleftharpoons\{A\} \sin (k t+\alpha),
\]

где
\[
\{A\}=\left\{\begin{array}{c}
A_{1} \\
A_{2} \\
\vdots \\
A_{s}
\end{array}\right\}
\]
– матрица-столбец амплитуд. Подставляя (4.48), получаем матричное уравнение
\[
-[a]\{A\} k^{2}+[c]\{A\}=0,
\]
T. e.
\[
\left([c]-[a] k^{2}\right)\{A\}=0 .
\]

Отсюда видно, что матрица-столбец $\{A\}$ отлична от нуля только при условии
\[
\operatorname{det}\left([c]-[a] k^{2}\right)=0,
\]

которос совпадает с тастотным уравнением (4.29). Переигсав равенство (4.53) в зиде
\[
[a]^{-1}[c]\{A\}=k^{2}\{A\},
\]

вамечаем, что $\{A\}$ является собственным вектором матрицы $[a]^{-1}[c]$, а $k^{2}$ – собственным значением этой матрицы.