Прежде чем обратиться к решению дифференциального уравнения (9.3) и исследованию возможности параметрического резонанса, рассмотрим некоторые простые механические системы, колебания которых являются параметрическими; в этих случаях часто параметрическими называют и сами системы.

В качестве первого примера рассмотрим симметричную абсолютно жесткую балку длиной $2 l$ со средней шарнирно неподвижной опорой и двумя упругими опорами на концах. Коэффициенты жесткости упругих опор одинаковы и равны $c_{0}$ (рис. 9.1). К балке приложена переменная горизонтальная сила $P(t)$, заданная в виде периодической функции времени. В положении равновесия ось балки горизонтальна. Прп малых отклонениях балки от положения равновесия (см. штриховую линию

на рисунке) на нее действует момент сил упругости $-c_{0} \varphi l^{2}$ и момент продольной силы $P(t) \varphi l$; полный момент, представляющий собой обобщенную силу в данной задаче,
\[
M=-\left[c_{0} l-P(t)\right] \varphi l,
\]

оказывается функцией координаты $\varphi$ и времени $t$. Соответствующее дифференциальное уравнение движения имеет вид
\[
-\left[c_{0} l-P(t)\right] l \varphi=\ddot{I} \varphi
\]
(где $I$ – момент инердии балки относительно осп вращения), или
\[
\ddot{\varphi}+\frac{c_{0} l-P(t)}{I} l \varphi=0 .
\]

Оно относится к типу (9.3).
Другим примером может служить маятник с колеблющейся по вертикали точкой подвеса (рис. 9.2,a). Пусть $l$ – длина маятника, $m$ – масса груза, $y=y(t)$ заданный периодический закон движения точки подвеса. Дифференциальное уравнение малых относительных колебаний маятника имеет вид
\[
(-m g-m \ddot{y}) l \varphi=m \ddot{l^{2}} \ddot{\varphi}
\]
(-mї – переносная сила инерции), или
\[
\ddot{\varphi}+\frac{g+\ddot{y}(t)}{l} \varphi=0 ;
\]

как видно, эта система также относится $к$ тилу параметрических.
В качестве третьего шриме-
Pис. 9.2 ра рассмотрим вертикальный безмассовый упругий стержень 2 длиной $l$, показанный на рис. 9.2,6. С концом стержня связан сосредоточенный груз 4. Верхней опорой служит неподвижный шарнир 1 , а нижней опорой служит втулка 3 с коротким подшипником. Если считать подшипник шарнирной опорой и пренебречь влиянием силы тяжести груза, то коэффициент изгибной жесткости балки определяется

формулой теории сопротивления материалов
\[
c=\frac{3 E J}{l(l-s)^{2}}
\]

где $s$ – расстояние между опорами.
Втулке задано периодическое движение около некоторого среднего положения, определяемого расстоянием $s_{0}$. Состоянию равновесия соответствует положение груза на вертикали и прямолинейная форма оси стержня.

При возмущении этого состояния груз отклоняется в сторону, ось балки изгибается, и последующее движение груза описывается дифференциальным уравнением
\[
\ddot{x}+\frac{3 E J}{m l[l-s(t)]^{2}} x=0,
\]

которое также относится к рассматриваемому здесь типу.
Исследование решений подобных дифференциальных уравнений позволит судить об устойчивости состояния равновесия, около которого происходят колебания. Если параметрически возбуждаемые колебания постепенно затухают (или по крайней мере не имеют тенденции к возрастанию), то состояние равновесия следует признать устойчивым; если же колебания происходят с возрастающими амплитудами (параметрический резонанс), то состояние равновесия не устой тив о. Поэтому в подобных случаях самым важным является выяснение основной тенденции параметрических колебаний.