К необходимости исследовать свойства решений дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами приводят также задачи об устойчивости стационарных режимов движения. Обычно дело сводится к следующему.

Допустим, что после решения некоторой задачи о движении механической системы найден режим движения, описываемый функцией $q=q(t)$. Для исследования устойчивости этого режима необходимо предположить, что он каким-либо образом нарушен и возмущенное движение описывается функцией $q+\delta q$, близкой к функции $q(t)$; здесь $\delta q(t)$ – вариация функции $q(t)$, т. е. отклонение системы от исследуемого режима движения. Если функция $\delta q$ с течением времени возрастает, то исследуемый режим $q=q(t)$ неустойчив; в случае постепенного затухания функции $\delta q$ режим $q=q(t)$ устойчив.

Как оказывается, для функции $\delta q(t)$ в ряде случаев можно получить дифференциальное уравнение типа (9.3). Характер решения этого уравнения позволяет сделать заключение об устойчивости режима движения $q=q(t)$.

Поясним сказанное примером из области вынужденных колебаний систем с нелинейной восстанавливающей силой (см. гл. II, § 7). Дифференциальное уравнение колебаний такой системы имеет вид
\[
a \ddot{q}+F(q)=Q(t),
\]

причем $F(q)$ и $Q(t)$ – заданные функции координаты и времени. Как мы знаем, решение этого уравнения может быть неоднозначным и возможно существование нескольких стационарных режимов с различными амплитудами
\[
q_{1}=q_{1}(t), q_{2}=q_{2}(t), q_{3}=q_{3}(t) .
\]

Так как среди этих режимов физически осуществимы только устойчивые режимы, то полное решение задачи о вынужденных колебаниях должно содержать не только выяснение (точное или приближенное) возможных режимов, но и анализ их устойчивости.

Для исследования устойчивости какого-либо из найденных режимов, например режима $q_{1}=q_{1}(t)$, предположим, что он каким-либо образом возмущен и, следовательно, движение системы будет описываться суммой $q_{1}+\delta q_{1} ;$ здесь второе слагаемое, $\delta q_{1}$, представляет собої возмущение функции $q_{1}$.

Об устойчивости стационарного режима $q_{1}=q_{1}(t)$ можно судить по характеру изменения во времени возмущения $\delta q_{1}$. Если выяснится, что при $t \rightarrow \infty$ возмущение $\delta q_{1} \rightarrow 0$ или остается ограниченным, то возмущенное движение будет стремиться к стационарному режиму или оставаться вблизи него; следовательно, последний устойчив. Если же при $t \rightarrow \infty$ варпация $\delta q_{1}$ неограниченно возрастает, то исследуемый стационарный режим неустойчив.

Решение $q_{1}(t)$ должно удовлетворять дифференциальному уравнению (9.7):
\[
a \ddot{q}_{1}+F\left(q_{1}\right)=Q(t) ;
\]

но тому же дифференциальному уравнению (9.7) должна удовлетворять также функция $q_{1}+\delta q_{1}$ :
\[
a \ddot{q}_{1}+a \delta \ddot{q}_{1}+F\left(q_{1}+\delta q_{1}\right)=Q(t) .
\]

Рассматривая малые величины $\delta q_{1}$, мы можем принять
\[
F\left(q_{1}+\delta q_{1}\right) \approx F\left(q_{1}\right)+F^{\prime}\left(q_{1}\right) \delta q_{1},
\]

где штрих обозначает дифференцирование по координате $q_{1}$, т. е.
\[
a \ddot{q}_{1}+a \delta \ddot{q}_{1}+F\left(q_{1}\right)+F^{\prime}\left(q_{1}\right) \delta q_{1}=Q(t) .
\]

Вычитая уравнение (9.8) из уравнепия (9.9), получим
\[
a \delta \ddot{q}_{1}+F^{\prime}\left(q_{1}\right) \delta q_{1}=0 .
\]

Но так как $q_{1}$ представляет некоторую известную функцию времени (стационарный режим), то п $F^{\prime}\left(q_{1}\right)$ также является функцией времени, т. е. дифференциальное уравнение (9.10) есть уравнение типа (9.3).
Пусть, например,
\[
F(q)=\beta q^{3}, \quad Q(t)=H \sin \omega t,
\]

и необходимо исследовать устойчивость стационарного режима
\[
q_{1}=A_{1} \sin \omega t
\]

который был найден в § 7 гл. II.
В данном случае
\[
F^{\prime}(q)=3 \beta q^{2}=3 \beta A_{1}^{2} \sin ^{2} \omega t
\]

и для варнации стационарного режима получим дифференциальное уравнение
\[
a \ddot{\delta} q+\left(3 \beta A_{1}^{2} \sin ^{2} \omega t\right) \delta q=0,
\]

полностью соответствующее уравнению (9.3).
Рис. 9.3
В следующих двух параграфах булут рассмотрены решения дифференциальных уравнений тина (9.3), которое запишем в виде
\[
\ddot{q}+k^{2}(t) q=0 .
\]

Однако сразу отметим, что интегрирование этого уравне-ния при произвольной периодической функции $k^{2}(t)$ весьма сложно. Поэтому ниже мы остановимся только на двух относительно простых случаях, когда изменение параметра следует периодическому кусочно-постоянному закону либо закону синуса (в обоих случаях с дополнительным постоянным слагаемым – см. рис. 9.3).