Изучение свободных колебаний представляет определенный интерес в связи с практическими задачами о движении механической системы после какого-либо возмущения ее состояния равновесия. Однако не только этим определяется важность темы, которой посвящена настоящая глава. Дело в том, что характеристики свободных колебаний (собственные частоты и собственные формы) полностью определяют индивидуальные динамические свойства механической системы и имеют первостепенное значение также при анализе ее вынужденных колебаний.

Рассмотрим в общем виде консервативную механическую систему с одной степенью свободы, для которой уравнение Лагранжа имеет известную из курса теоретической механики форму:
\[
\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial T}{\dot{\partial q}}\right)-\frac{\partial T}{\partial q}=-\frac{\partial \Pi}{\partial q} .
\]

Здесь $t$-время, $q$ – обобщенная координата, $\dot{q}$ – обобщенная скорость, $T$ – кинетическая энергия, П – потенциальная энергия.

Прежде всего образуем выражение кинетической энергии:
\[
T=\frac{1}{2} \sum_{i=1}^{n} m_{i} v_{i}^{2}=\frac{1}{2} \sum_{i=1}^{n} m_{i} \mathbf{v}_{i} \mathbf{v}_{i},
\]

где $m_{i}$ – масса $i$-й материальной точки, $\mathbf{v}_{i}$ – скорость этой точки. Если $\mathbf{r}_{i}$ – радиус-вектор $i$-й материальной точки
определяется только обобщенной координатой $q$ и не зависит явно от времени, то скорость точки равна
\[
\mathbf{v}_{i}=\frac{d \mathbf{r}_{i}}{d t}=\frac{\partial \mathbf{r}_{i}}{\partial q} \dot{q},
\]

и, следовательно,
\[
T=\frac{1}{2} \sum_{i=1}^{n} m_{i}\left(\frac{\partial \mathbf{r}_{i}}{\partial q}\right)^{2} \dot{q}^{2}=\frac{1}{2} \dot{q}^{2} \sum_{i=1}^{n} m_{i}\left(\frac{\partial \mathbf{r}_{i}}{\partial q}\right)^{2} .
\]

Входящая сюда сумма в общем случае является функцией обобщенной координаты $q$; обозначив
\[
\sum_{i=1}^{n} m_{i}\left(\frac{\partial \mathbf{r}_{i}}{\partial q}\right)^{2}=A(q)
\]

и разлагая последнее выражение в ряд Маклорена в окрестности значения $q=0$, получим
\[
A(q)=A(0)+A^{\prime}(0) q+\frac{A^{\prime \prime}(0)}{2} q^{2}+\ldots
\]

Здесь штрихи обозначают производные функции $A(q)$ по обобщенной координате $q$.

В этом параграфе рассматривается частный, но практически очень важный случай малых колебаний системы около положения ее равновесия; отсчет координаты $q$ удобно вести от этого положения. При малых значениях $q$ в разложении можно удержать лишь один первый член, который обозначим через $a$; тогда кинетическая энергия примет вид, сходный с выражением кинетической энергии одной материальной точки:
\[
T=\frac{1}{2} \dot{a} \dot{q}^{2} .
\]

Входящий сюда множитель а называют коэффициентом инерции или инерционным коэффициентом (иногда его называют также обобщенной пли приведенной массой).

Конечно, для определения инерционного коэффициента нет необходимости каждый раз фактически строить сумму (1.3), разлагать ее в ряд Маклорена и затем выделять первый член этого ряда. В зависимости от вида механической системы и выбора обобщенной координаты достаточно любым образом получить выражение кинетической энергии через квадрат обобщенной скорости; при

этом значение $a$ определится как коэффициент в выражении (1.4):

Обратимся теперь к определению потенциальной энергии П, которая представляет собой функцию обобщенной координаты $q$ :
\[
\Pi=\Pi(q) .
\]

Если, как это чаще всего бывает, потенциальная энергия обладает свойствами непрерывности и дифференцируемости, то ее можно разложить в ряд Маклорена в окрестности значения $q=0$ :
\[
\Pi=\Pi(0)+\Pi^{\prime}(0) q+\frac{\Pi^{\prime \prime}(0)}{2} q^{2}+\ldots,
\]

где, как и выше, штрихи обозначают дифференцирование по обобщенной координате $q$. Постоянному первому члену этого разложения может быть приписано любое значение, так как потенциальная энергия определяется с точностью до произвольного постоянного слагаемого. Поэтому удобно положить $\Pi(0)=0$. Далее нужно вспомнить соотношение
\[
\Pi^{\prime}=-Q \text {, }
\]

определяющее связь потенциальной энергии с обобщенной силой $Q$. Так как в положении равновесия обобщенная сила равна нулю, то при отсчете координаты $q$ от положения равновесия системы производная $\Pi^{\prime}(0)$ обращается в нуль; при этом разложение (1.6) начнется с члена, содержащего вторую степень координаты $q$. Считая перемещения $q$ малыми, мы сохраним в разложении (1.6) только упомянутый член, так что окончательно получим
\[
\Pi=\frac{1}{2} c q^{2},
\]

где постоянная
\[
c=\Pi^{\prime \prime}(0)
\]

называется обобщенным коэффициентом жесткости или квазиупругим коэффициентом.

Знак постоянной $c$ зависит от устойчивости положения равновесия, от которого ведется отсчет координаты $q$. Согласно теореме Јагранжа – Дирихле потенциальная энергия консервативной системы в положении устойчивого равновесия имеет минимум, т. е. $\Pi^{\prime \prime}(0)>0$. Отсюда следует, что $c>0$ вблизи устойчивого положения равновесия.

Для определения обобщенного коэффциента жесткости $c$ в каждом конкретном случае достаточно построить выражение потенциальной энергии в виде квадратичной функции обобщенной координаты $q$, причем отсчет координаты $q$ следует вести от ноложения равновесия и принять, что этому положению соответствует нулевое значение потенциальной энергии. Если окажется, что $c<0$, то это будет означать неустойчивость соответствующего положения равновесия.

Подставив в уравнение Лагранжа (1.1) выражения (1.4) и (1.8) для кинетической и потенциальной энергии, получим основное дифференциальное уравнение задачи о свободных колебаниях:
\[
a \ddot{q}+c q=0 .
\]

Иногда, в зависимости от вида механической системы, может оказаться более удобным не метод Лагранжа, а какой-либо иной путь составления дифференциального уравнения задачи; разумеется, что независимо от выбранного способа для рассматриваемых здесь линейных систем с одной степенью свободы без трения окончательное дифференциальное уравнение запишется в виде (1.10).
Введем обозначение
\[
k=\sqrt{\frac{c}{a}},
\]

тогда вместо (1.10) получим
\[
\ddot{q}+k^{2} q=0 .
\]

Общее решение этого уравнения имеет вид
\[
q=C_{1} \sin k t+C_{2} \cos k t,
\]

причем постоянные $C_{1}$ и $C_{2}$ определяются через начальные условия $q(0)=q_{0}$ и $\dot{q}(0)=\dot{q}_{0}$ в виде
\[
C_{1}=\frac{\dot{q}_{0}}{k}, C_{2}=q_{0} .
\]

Окончательно имеем
\[
q=\frac{\dot{q}_{0}}{k} \sin k t+q_{0} \cos k t .
\]

Иногда пользуются пной формой записи:
\[
q=A \sin (k t+\alpha),
\]

где
\[
A=\sqrt{\left(\frac{\dot{q}_{0}}{k}\right)^{2}+q_{0}^{2}}, \quad \alpha=\operatorname{arctg} \frac{k q_{0}}{\dot{q}_{0}} .
\]

Из выражения (1.15) видно, что движение представляет собой незатухающие гармонические колебания с амnлитудой $A$ и угловой частотой $k$ (рис. 1.1). Подчеркнем, тто амплитуда колебаний определяется начальными условиями по первой формуле (1.16), а угловая частота колебаний зависит только от параметров системы (см. формугу (1.11)) и не зависит от начальных условий; по этому шризнаку величина $k$ называется собственной таРис. 1.1 стотой системы. Собственная частота представляет собой число свободных колебаний за $2 \pi$ единиц времени. Период свободных колебаний, т. е. длителиность одного полного цикла колебаний, определяется формулой
\[
T=2 \pi \sqrt{\frac{\bar{a}}{c}} .
\]

Пример 1.1. Определить собственную частоту системы (рис. 1.2), состоящей из упруго закрепленной горизонтально расположенной рейки $A$, которая лежит на упруго закрепленном однородном цилиндре $B$ и катіе $C$. Сұитать, что трение между рейкой и цилинипом исключает возможность проскальзывания рейли
Рис, 1.2

по цилиндру. Обозначения: $m_{1}$ – масса рейки, $m_{2}$ – масса цилиндpa, $c_{1}$ – оәффициент жесткости горизонтальної пру;ипы, $c_{2}$ коэффициент жесткости вертикальой пружины, $r$ – радиус сечевия цилипдра, $l$-расстояние от оси циливдра до точки ірепле-

ния вертикальной пруякины. Массами пружин и катка $C$ препебрречь.

Примем за обобщенную координату горизонтальное перемещение какой-либо точки рейки; так как рейка движется поступательно, то выбор әтой точки безразличен, Отсчет координаты $x$ будем вести от положения равновесия, когда обе пружины не деформированы.

При перемещении рейки, равном $x$, цилиндр поворачивается на угол $\varphi=x / r$. Кинетическая энергия системы равна
\[
T=\frac{1}{2} m_{1} \dot{x}^{2}+\frac{1}{2} I_{2} \dot{\varphi}^{2} ;
\]

подставив слода $I_{2}=m_{2} r^{2} / 2, \dot{\varphi}=\dot{x} / r$, получим
\[
T=\frac{1}{2} m_{1} \dot{x}^{2}+\frac{1}{4} m_{2} \dot{x}^{2}=\frac{1}{2}\left(m_{1}+\frac{1}{2} m_{2}\right) \dot{x}^{2} .
\]

Отсюда непосредствепно видно, что инерционный коэффициент в данном случае равен
\[
a=m_{1}+\frac{1}{2} m_{2} .
\]

Потепцильная энергия определяется деформациями обеих пру;ни:
\[
\mathrm{II}=\frac{1}{2} c_{1} x^{2}+\frac{1}{2} c_{2}\left(\frac{l}{r} x\right)^{2}=\frac{1}{2}\left(c_{1}+\frac{l^{2}}{r^{2}} c_{2}\right) x^{2} .
\]

Тањим образом, коəффициент жесткости системы равен
\[
c=c_{1}+\frac{l^{2}}{r^{2}} c_{2} .
\]

Теперь по формуле (1.11) находим собственную частоту:
\[
k=\sqrt{\frac{c_{1}+\frac{l^{2}}{r^{2}} c_{2}}{m_{1}+\frac{1}{2} m_{2}}} .
\]

Пр имер 1.2. Определить движение системы, возникающее после однократного вертикального удара но грузу, который связан с безмассовой жесткой упруго закрепленной балкой (рис. 1.3, a). Обозначения: $2 l$ – длина балки, $m$ – масса груза, $c_{0}$ – коэффициент жесткости пружины, $S$ – величина приложенного к грузу мгновенного ударного импульса.

Прежде всего найдем положение равновесия (рис. 1.3, б). Пусть в этом ноложении угол отклонения первоначально горизонтальной балки равен * $^{*}$ : тогда малая статическая осадка пружины определяется выражением $l \varphi_{*}$. На балку действуют следующие силы: вес груза $\mathrm{mg}$, реакция пружины $c_{0} l \varphi_{*}$, реакция парнирной опоры. Для ошределения угла $\varphi_{*}$ составим уравнение моментов

относительно центра шарнирной одоры:
\[
2 m g l-c_{0} l^{2} \varphi_{*}=0 .
\]

Отсюда находим
\[
\varphi_{*}=\frac{2 m g}{c_{0} l} .
\]

Теперь перейдем к апализу двиясения и обозначим через $\varphi$ угол дополнительного отклонепия при движении системы после удара. Тогда полный угол отклонения равен $\varphi_{*}+\varphi$, и полная реакция пружины составляет $c_{0} l\left(\varphi_{*}+\varphi\right)$. Составим дифференциальное уравнение вращательного движения жесткой системы балка – груз: $2 m g l-c_{0} l^{2}\left(\varphi_{*}+\varphi\right)=$
\[
=4 m l^{2} \frac{d^{2}}{d t^{2}}\left(\varphi_{*}+\varphi\right),
\]

где $4 m l^{2}$ – момент инердии системы, Если раскрыть скобки в левой части этото уравнения, то сумма Рис. 1.3 перных двух членов согласуо (a) окажется равной нуэю, и мы получим дифференциальпе уравпеніе для коордипаты $\varphi$, отсчитываемой от положения равновесия:
\[
4 m \ddot{\varphi}+c_{0} \varphi=0 .
\]

Теперь легко заметить, что предварительное определение равповесного полюжепия юказалось, в сущности, лишней опера ацие ӥ. Можно было ноступнть проще: заранее опустить из рассмотрения силы, действующие в спстеме, когда она находится в юлгжепии равновесия, и включить в дифференцильное уравнение движения толью момент дополнительной реакции $c_{0} l \varphi$ (этот момент равеп $\left.-c_{0} l^{2} \varphi\right)$; при этом сразу получится уравнение (б). Обычно именно так и поступают в подобных случаях.

Сопоставляя уравнение (б) с основным уравнением (1.10), видим, что инерциопшыі коэффициент и коэффициент жесткости соответственно равны $a=4 \mathrm{~m}, c=c_{0}$. Теперь по формуле (1.11) находим соб́ствепную частоту:
\[
k=\frac{1}{2} \sqrt{\frac{c_{0}}{m} .}
\]

Перейдем к формулировке начальных условий, соответствующих движению после цриложения ударного имцульса $S$. В момент, пешосредственно следующий за ударом, положение балки остается

неизменным, следовательно, $\varphi_{0}=0$. Скорость груза получает мгновенное приращение $\dot{\varphi}_{0} l$, определяемое из теоремы об пзменении количества движения:
\[
2 m \dot{\varphi}_{0} l-0=S .
\]

Следовательно, пачальные условия имеют вид
\[
\varphi_{0}=0, \quad \dot{\varphi}_{0}=\frac{S}{2 m l} .
\]

Согласно решению (1.14) движение описывается выражением
\[
\varphi=\frac{S}{2 m k l} \sin k t,
\]

причем паибольшее отклонение от положения равповесия равно
\[
\varphi_{\max }=\frac{S}{2 m k l}=\frac{S}{\sqrt{c_{0} m l}},
\]

а вызванное ударом паио́ольше усилие в пружине
\[
c_{0} \varphi_{\max } l=S \sqrt{\frac{c_{0}}{m}} .
\]