Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
Изучение свободных колебаний представляет определенный интерес в связи с практическими задачами о движении механической системы после какого-либо возмущения ее состояния равновесия. Однако не только этим определяется важность темы, которой посвящена настоящая глава. Дело в том, что характеристики свободных колебаний (собственные частоты и собственные формы) полностью определяют индивидуальные динамические свойства механической системы и имеют первостепенное значение также при анализе ее вынужденных колебаний. Рассмотрим в общем виде консервативную механическую систему с одной степенью свободы, для которой уравнение Лагранжа имеет известную из курса теоретической механики форму: Здесь $t$-время, $q$ — обобщенная координата, $\dot{q}$ — обобщенная скорость, $T$ — кинетическая энергия, П — потенциальная энергия. Прежде всего образуем выражение кинетической энергии: где $m_{i}$ — масса $i$-й материальной точки, $\mathbf{v}_{i}$ — скорость этой точки. Если $\mathbf{r}_{i}$ — радиус-вектор $i$-й материальной точки и, следовательно, Входящая сюда сумма в общем случае является функцией обобщенной координаты $q$; обозначив и разлагая последнее выражение в ряд Маклорена в окрестности значения $q=0$, получим Здесь штрихи обозначают производные функции $A(q)$ по обобщенной координате $q$. В этом параграфе рассматривается частный, но практически очень важный случай малых колебаний системы около положения ее равновесия; отсчет координаты $q$ удобно вести от этого положения. При малых значениях $q$ в разложении можно удержать лишь один первый член, который обозначим через $a$; тогда кинетическая энергия примет вид, сходный с выражением кинетической энергии одной материальной точки: Входящий сюда множитель а называют коэффициентом инерции или инерционным коэффициентом (иногда его называют также обобщенной пли приведенной массой). Конечно, для определения инерционного коэффициента нет необходимости каждый раз фактически строить сумму (1.3), разлагать ее в ряд Маклорена и затем выделять первый член этого ряда. В зависимости от вида механической системы и выбора обобщенной координаты достаточно любым образом получить выражение кинетической энергии через квадрат обобщенной скорости; при этом значение $a$ определится как коэффициент в выражении (1.4): Обратимся теперь к определению потенциальной энергии П, которая представляет собой функцию обобщенной координаты $q$ : Если, как это чаще всего бывает, потенциальная энергия обладает свойствами непрерывности и дифференцируемости, то ее можно разложить в ряд Маклорена в окрестности значения $q=0$ : где, как и выше, штрихи обозначают дифференцирование по обобщенной координате $q$. Постоянному первому члену этого разложения может быть приписано любое значение, так как потенциальная энергия определяется с точностью до произвольного постоянного слагаемого. Поэтому удобно положить $\Pi(0)=0$. Далее нужно вспомнить соотношение определяющее связь потенциальной энергии с обобщенной силой $Q$. Так как в положении равновесия обобщенная сила равна нулю, то при отсчете координаты $q$ от положения равновесия системы производная $\Pi^{\prime}(0)$ обращается в нуль; при этом разложение (1.6) начнется с члена, содержащего вторую степень координаты $q$. Считая перемещения $q$ малыми, мы сохраним в разложении (1.6) только упомянутый член, так что окончательно получим где постоянная называется обобщенным коэффициентом жесткости или квазиупругим коэффициентом. Знак постоянной $c$ зависит от устойчивости положения равновесия, от которого ведется отсчет координаты $q$. Согласно теореме Јагранжа — Дирихле потенциальная энергия консервативной системы в положении устойчивого равновесия имеет минимум, т. е. $\Pi^{\prime \prime}(0)>0$. Отсюда следует, что $c>0$ вблизи устойчивого положения равновесия. Для определения обобщенного коэффциента жесткости $c$ в каждом конкретном случае достаточно построить выражение потенциальной энергии в виде квадратичной функции обобщенной координаты $q$, причем отсчет координаты $q$ следует вести от ноложения равновесия и принять, что этому положению соответствует нулевое значение потенциальной энергии. Если окажется, что $c<0$, то это будет означать неустойчивость соответствующего положения равновесия. Подставив в уравнение Лагранжа (1.1) выражения (1.4) и (1.8) для кинетической и потенциальной энергии, получим основное дифференциальное уравнение задачи о свободных колебаниях: Иногда, в зависимости от вида механической системы, может оказаться более удобным не метод Лагранжа, а какой-либо иной путь составления дифференциального уравнения задачи; разумеется, что независимо от выбранного способа для рассматриваемых здесь линейных систем с одной степенью свободы без трения окончательное дифференциальное уравнение запишется в виде (1.10). тогда вместо (1.10) получим Общее решение этого уравнения имеет вид причем постоянные $C_{1}$ и $C_{2}$ определяются через начальные условия $q(0)=q_{0}$ и $\dot{q}(0)=\dot{q}_{0}$ в виде Окончательно имеем Иногда пользуются пной формой записи: где Из выражения (1.15) видно, что движение представляет собой незатухающие гармонические колебания с амnлитудой $A$ и угловой частотой $k$ (рис. 1.1). Подчеркнем, тто амплитуда колебаний определяется начальными условиями по первой формуле (1.16), а угловая частота колебаний зависит только от параметров системы (см. формугу (1.11)) и не зависит от начальных условий; по этому шризнаку величина $k$ называется собственной таРис. 1.1 стотой системы. Собственная частота представляет собой число свободных колебаний за $2 \pi$ единиц времени. Период свободных колебаний, т. е. длителиность одного полного цикла колебаний, определяется формулой Пример 1.1. Определить собственную частоту системы (рис. 1.2), состоящей из упруго закрепленной горизонтально расположенной рейки $A$, которая лежит на упруго закрепленном однородном цилиндре $B$ и катіе $C$. Сұитать, что трение между рейкой и цилинипом исключает возможность проскальзывания рейли по цилиндру. Обозначения: $m_{1}$ — масса рейки, $m_{2}$ — масса цилиндpa, $c_{1}$ — оәффициент жесткости горизонтальної пру;ипы, $c_{2}$ коэффициент жесткости вертикальой пружины, $r$ — радиус сечевия цилипдра, $l$-расстояние от оси циливдра до точки ірепле- ния вертикальной пруякины. Массами пружин и катка $C$ препебрречь. Примем за обобщенную координату горизонтальное перемещение какой-либо точки рейки; так как рейка движется поступательно, то выбор әтой точки безразличен, Отсчет координаты $x$ будем вести от положения равновесия, когда обе пружины не деформированы. При перемещении рейки, равном $x$, цилиндр поворачивается на угол $\varphi=x / r$. Кинетическая энергия системы равна подставив слода $I_{2}=m_{2} r^{2} / 2, \dot{\varphi}=\dot{x} / r$, получим Отсюда непосредствепно видно, что инерционный коэффициент в данном случае равен Потепцильная энергия определяется деформациями обеих пру;ни: Тањим образом, коəффициент жесткости системы равен Теперь по формуле (1.11) находим собственную частоту: Пр имер 1.2. Определить движение системы, возникающее после однократного вертикального удара но грузу, который связан с безмассовой жесткой упруго закрепленной балкой (рис. 1.3, a). Обозначения: $2 l$ — длина балки, $m$ — масса груза, $c_{0}$ — коэффициент жесткости пружины, $S$ — величина приложенного к грузу мгновенного ударного импульса. Прежде всего найдем положение равновесия (рис. 1.3, б). Пусть в этом ноложении угол отклонения первоначально горизонтальной балки равен * $^{*}$ : тогда малая статическая осадка пружины определяется выражением $l \varphi_{*}$. На балку действуют следующие силы: вес груза $\mathrm{mg}$, реакция пружины $c_{0} l \varphi_{*}$, реакция парнирной опоры. Для ошределения угла $\varphi_{*}$ составим уравнение моментов относительно центра шарнирной одоры: Отсюда находим Теперь перейдем к апализу двиясения и обозначим через $\varphi$ угол дополнительного отклонепия при движении системы после удара. Тогда полный угол отклонения равен $\varphi_{*}+\varphi$, и полная реакция пружины составляет $c_{0} l\left(\varphi_{*}+\varphi\right)$. Составим дифференциальное уравнение вращательного движения жесткой системы балка — груз: $2 m g l-c_{0} l^{2}\left(\varphi_{*}+\varphi\right)=$ где $4 m l^{2}$ — момент инердии системы, Если раскрыть скобки в левой части этото уравнения, то сумма Рис. 1.3 перных двух членов согласуо (a) окажется равной нуэю, и мы получим дифференциальпе уравпеніе для коордипаты $\varphi$, отсчитываемой от положения равновесия: Теперь легко заметить, что предварительное определение равповесного полюжепия юказалось, в сущности, лишней опера ацие ӥ. Можно было ноступнть проще: заранее опустить из рассмотрения силы, действующие в спстеме, когда она находится в юлгжепии равновесия, и включить в дифференцильное уравнение движения толью момент дополнительной реакции $c_{0} l \varphi$ (этот момент равеп $\left.-c_{0} l^{2} \varphi\right)$; при этом сразу получится уравнение (б). Обычно именно так и поступают в подобных случаях. Сопоставляя уравнение (б) с основным уравнением (1.10), видим, что инерциопшыі коэффициент и коэффициент жесткости соответственно равны $a=4 \mathrm{~m}, c=c_{0}$. Теперь по формуле (1.11) находим соб́ствепную частоту: Перейдем к формулировке начальных условий, соответствующих движению после цриложения ударного имцульса $S$. В момент, пешосредственно следующий за ударом, положение балки остается неизменным, следовательно, $\varphi_{0}=0$. Скорость груза получает мгновенное приращение $\dot{\varphi}_{0} l$, определяемое из теоремы об пзменении количества движения: Следовательно, пачальные условия имеют вид Согласно решению (1.14) движение описывается выражением причем паибольшее отклонение от положения равповесия равно а вызванное ударом паио́ольше усилие в пружине
|
1 |
Оглавление
|