Этот метод, которым мы пользовались при исследовании свободных колебаний систем с нелинейным трением (п. 2 § 2) позволяет получить приближенное решение задачи о стационарных автоколебаниях квазилинейных систем, движение которых описывается дифференциальным уравнением
\[
\ddot{q}+k_{0}^{2} q=f(q, \dot{q}) .
\]

Здесь, как указывалось, $f(q, \dot{q})$ – функция, состоящая из малых нелинейных члепов. Поскольку эти члены малы, естественно принять $k=k_{0}$ и искать решение в виде
\[
q=A \cos \left(k_{0} t-\varphi\right),
\]

где $A$ и $\varphi$ – постоянные. В этой записи существенно предположение о том, что частота автоколебаний $k$ равна собственной частоте линеаризованной системы. Выражение (13.18) не может строго удовлетворить уравнению (13.17): этому мешает правая часть $f(q, \dot{q})$, которая после подстановки (13.18) принимает вид
\[
f_{*}\left(k_{0} t-\varphi\right)=f\left[A \cos \left(k_{0} t-\varphi\right), \quad-A k_{0} \sin \left(k_{0} t-\varphi\right)\right]
\]

и тождественно в нуль не обращается. После умножения на инерционный коэффициент $a$ правая часть будет представлять собой пекоторую неуравновепенную силу. В соответствии с основной идеей энергетического метода потребуем, чтобы работа этой силы за период $2 \pi / k_{0}$ равнялась нулю. Работа силы $a f_{*}$ на элементарном перемещении $d q$ равна $a f_{*} d q=a f_{*} q d t$. При учете соотношений (13.18) и (13.19) условие энергетического баланса запишется в виде
\[
\begin{aligned}
-a A k_{0} \int_{0}^{2 \pi / k_{0}} f\left[A \cos \left(k_{0} t-\varphi\right),\right. & \left.-A k_{0} \sin \left(k_{0} t-\varphi\right)\right] \times \\
& \times \sin \left(k_{0} t-\varphi\right) d t=0 .
\end{aligned}
\]

Обозначив
\[
\begin{array}{c}
k_{0} t-\varphi=\psi, \\
\Phi(A)=-\int_{0}^{2 \pi} f\left(A \cos \psi,-A k_{0} \sin \psi\right) \sin \psi d \psi,
\end{array}
\]

получим условие для определения стационарной амплитуды автоколебаний в виде *)
\[
\Phi(A)=0 .
\]

В качестве примера найдем амилитуду автоколебаний для системы, описываемой диференцильным урав-
*) Отметим, что выражение (13.21) точно совпадает с выражением (2.42), которое было найдено в § 2 методом медленно меняющихся амплитуд. Согласпо этому методу лля определения стационарных амцлитуд также следует ноложить $\Phi(A)=0$.

нением (13.7); выше эта задача была точно решена способом поэтапного интегрирования (припасовывания).
В данном случае
\[
f(q, \dot{q})=-\frac{b}{a} \dot{q}+\frac{R_{0}}{2} \operatorname{sign} \dot{q}
\]

и
\[
f\left(A \cos \psi,-A k_{0} \sin \psi\right)=\frac{A b k_{0}}{a} \sin \psi+\frac{R_{0}}{k} \operatorname{sign}(-\sin \psi),
\]
т. е.
\[
f\left(A \cos \psi,-A k_{0} \sin \psi\right)=\left\{\begin{array}{l}
\frac{A b k_{0}}{a} \sin \psi-\frac{R_{0}}{a} \text { при } 0<\psi<\pi, \\
\frac{A b k_{0}}{a} \sin \psi+\frac{R_{0}}{a} \text { при } \pi<\psi<2 \pi .
\end{array}\right.
\]

Согласно формуле (13.21) находим
$\Phi(A)=-\left[\int_{0}^{\pi}\left(\frac{A b k_{0}}{a} \sin \psi-\frac{R_{0}}{a}\right) \sin \psi d \psi+\right.$
\[
\left.+\int_{\pi}^{2 \pi}\left(\frac{A b k_{0}}{a} \sin \psi+\frac{R_{0}}{a}\right) \sin \psi d \psi\right]=-\frac{\pi A b k_{0}}{a}+\frac{4 R_{0}}{a} \text {. }
\]

Теперь из условия (13.22) находим для амплитуды автоколебаний прежнее выражение (13.14).