Рассмотрим случай, соответствующий случаю рис. $9.3, a$. При этом дифференциальное уравнение (9.12) принимает вид
\[
\ddot{q}+k_{0}^{2}(1 \pm \mu) q=0
\]

где $\mu=\Delta k^{2} / k_{0}^{2}$.
Ввиду того что в течение каждого полупериода $T / 2=$ $=\pi / k_{0}$ дифференциальное уравнение имеет постоянные коэффициенты, можно воспользоваться способом припасовывания.

Рассмотрим какой-либо период $T$ изменения коэффициента $k^{2}$ и совместим с началом этого периода начало отсчета времени. В первом полупериоде, когда $0<t<$ $<T / 2$, дифферснциальное уравнение (10.1) имеет вид
\[
\ddot{q}_{1}+k_{0}^{2}(1+\mu) q_{1}=0,
\]

а зо втором полуиериоде $T / 2<t<T$ соответственно будет
\[
\ddot{q}_{2}+k_{0}^{2}(1-\mu) q_{2}=0 .
\]

Дифференциальные уравнения (10.2) и (10.3) с постояниыми коэфициснтами имеют решения
\[
\begin{array}{l}
q_{1}=C_{1} \sin k_{1} t+D_{1} \cos k_{1} t, \\
q_{2}=C_{2} \sin k_{2} t+D_{2} \cos k_{2} t,
\end{array}
\]

нритем $k_{1}=k_{0} \sqrt{1+\mu}, k_{2}=k_{0} \sqrt{1-\mu}$. В этих решениях содержатся чстыре постоянные, $C_{1}, D_{1}, C_{2}, D_{2}$, для определения которых необходимы тетьре условия. Два условия относятся к моменту времени $t=T / 2$, общему для обоих полупериодов; в указаниый момент должно быть
\[
q_{1}\left(\frac{T}{2}\right)=q_{2}\left(\frac{T}{2}\right), \dot{q}_{1}\left(\frac{T}{2}\right)=\dot{q}_{2}\left(\frac{T}{2}\right) .
\]

Это дает следующие соотношения:
\[
\begin{array}{c}
C_{1} \sin \frac{k_{1} T}{2}+D_{1} \cos \frac{k_{1} T}{2}=C_{2} \sin \frac{k_{2} T}{2}+D_{2} \cos \frac{k_{2} T}{2}, \\
k_{1}\left(C_{1} \cos \frac{k_{1} T}{2}-D_{1} \sin \frac{k_{1} T}{2}\right)=k_{2}\left(C_{2} \cos \frac{k_{2} T}{2}-D_{2} \sin \frac{k_{2} T}{2}\right) .
\end{array}
\]

Запишем еще два соотношения:
\[
\lambda q_{1}(0)=q_{2}(T), \lambda \dot{q}_{1}(0)=\dot{q}_{2}(T),
\]

в которых $\lambda$ – некоторое, пока неизвестное число. Соотношениями (10.7) утверждается, что по истечении рассматриваемого периода юбобщенная координата и обощенная скорость изменяются в $\lambda$ раз. Соответственно этому движение в следующем периоде начнется при измененных в $\lambda$ раз начальных условиях, т. е. будет повторять движение в рассматриваемом периоде, но в измененном в $\lambda$ раз масштабе.

Если $|\lambda|>1$, то колебания в каждом следующем периоде будут усиливаться, а если $|\lambda|<1$, то они будут постепенно затухать. Таким образом, устойчивость или неустойчивость системы определяется значением модуля $\lambda$.

Подставив решения (10.4) в соотношения (10.7), получим
\[
\begin{array}{c}
\lambda D_{1}=C_{2} \sin k_{2} T+D_{2} \cos k_{2} T, \\
\lambda C_{1} k_{1}=C_{2} k_{2} \cos k_{2} T-D_{2} k_{2} \sin k_{2} T .
\end{array}
\]

Система уравнений (10.6) и (10.8) однородна относительно постоянных $C_{1}, D_{1}, C_{2}, D_{2}$ и имеет отличные от нуля решения только в том случае, если равен нулю определитель, составленный из ее коэффициентов:

Развернув определитель, получим следующее жвадратное уравнение:
\[
\lambda^{2}-2 A \lambda+1=0,
\]

в котором для краткости обозначено
\[
\begin{aligned}
A=\cos \frac{k_{1} T}{2} & \cos \frac{k_{2} T}{2}-\frac{k_{1}^{2}+k_{2}^{2}}{2 k_{1} k_{2}} \sin \frac{k_{1} T}{2} \sin \frac{k_{2} T}{2}= \\
= & \cos \pi \alpha \sqrt{1+\mu} \cos \pi \alpha \sqrt{1-\mu}- \\
– & \frac{1}{\sqrt{1-\mu^{2}}} \sin \pi \alpha \sqrt{1+\mu} \sin \pi \alpha \sqrt{1-\mu}
\end{aligned}
\]

причем $\alpha=k_{0} T /(2 \pi)$ есть отношение среднего значения $k_{0}$ собственной частоты к частоте пульсации параметра. Корни уравнения (10.9) следующие:
\[
\lambda_{1}=A-\sqrt{A^{2}-1}, \lambda_{2}=A+\sqrt{A^{2}-1} .
\]

Для того чтобы числа $\lambda_{1}$ и $\lambda_{2}$ были вещественными, как это предполагается по смыслу решаемой задачи, должно обыть
\[
|A|>1,
\]
т. е. либо $A>1$, либо $A<-1$. Но в обоих этих случаях модуль одного из корней (10.11) больше единицы:
\[
\begin{array}{c}
\text { если } A>1 \text {, то } \lambda_{2}>1 \text {; } \\
\text { если } A<-1 \text {, то }\left|\lambda_{1}\right|>1 \text {. }
\end{array}
\]

Отсюда следует, что если выполнено неравенство (10.12), то колебания будут с каждым новым периодом увеличиваться. Неравенство представляет собой не только условие вещественности множителя $\lambda$, но одновременно и условие возникновения параметрического рөзонанса.

Так как значение $A$ зависит от двух постоянных спстемы $\alpha$ и $\mu$, то их значения полностью определяют устойчивость системы.

На рис. 10.1 представлена построенная с помощью условия (10.12) диаграмма устойчивости, по осям которой отложены значения $4 \alpha^{2}$ и $2 \mu \alpha^{2}$. В незаптрихованных областях значения параметров $\alpha$ и $\mu$ таковы, что условие (10.12) выполняется, т. е. система неустойчива. Заштрихованные области диаграммы соответствуют устойчивым состояниям системы. С помощью такой диаграммы можно сразу судить об устойчивости по данным значениям $\alpha$ и $\mu$ без всяких дополнительных вычислений.

Прежде всепо обратим внимание па те зоны областей неустойчивости, которые расположены вблизи горизон

тальной оси, т. е. соответствуют малым значениям параметра $\mu$. Как видно, в этих зонах $4 \alpha^{2} \approx n^{2}$, т. е.
\[
\alpha \approx \frac{n}{2}(n=1,2, \ldots)
\]

То же можно найти из (10.10), положив $\mu=0$. В самом деле,
\[
A=\cos ^{2} \pi \alpha-\sin ^{2} \pi \alpha=\cos 2 \pi \alpha,
\]
т. е. при произвольных значекиях $\alpha$ имеем $|A| \leqslant 1$. Равенство $|A|=1$, соответствующее возникновению пара-
Рис. 10.1

метрического резонанса, возможно при условии, что аргумент $2 \pi \alpha$ удовлетворяет равенству
\[
2 \pi \alpha=\pi n \quad(n=1,2, \ldots),
\]

из которого также следует соотношение (10.13).
Таким образом, если выполняется условие (10.13), то параметрический резонанс возникает при сколь угодно малой глубине пульсации. При этом основное значение пмеет случай $n=1$, когда $\alpha=1 / 2$, т. е. когда среднее значение собственной частоты вдвое мень іп тастоты параметрического возбуждения.

При значительной глубине пульсации и заметном отличии $\mu$ от нуля параметрический резонанс возникает в целых областях значений $\alpha$, расположенных вблизи значений (10.13); чем больше заданное значение $\mu$, тем пире эти области. По этой причине отстройка от парамет-

рического резонанса труднее, чем от обычного резонанса; параметрический резонанс более опасен, чем обычпий, еще и по той причине, что линейное демпфирование (которое выше вообще не учитывалось) лишь несколько суживает области неустойчивости, но неспособно ограничить возрастание амплитуд колебаний в этих областях*).

Пример 10.1. Груз 1 массы $m$ упруго подвешен на цилиндрической витой пружине 2 длиной $l$; коэффициент жесткости пружпны равен с. Разрезная втулка 3 периодически обжимает верхнюю часть пружины так, что длительность каждого обжима $t_{*}$ равна длительности интервала между двумя последовательными обжимами. Длина деформируемой части пружины при обжиме мало отличается от длины $l$ (рис. 10.2). Найти наименьшее значение $t_{*}$, при котором вознигает параметрический резонанс.

Замечая, что период изменения жесткости $T=2 t_{*}$, и учитывая малость глубины пульсации, запишем условие гараметрического резонанса (10.13):
\[
\alpha=k_{0} T /(2 \pi)=n / 2 \quad(n=1,2, \ldots) .
\]

Подставляя сода $k_{0}=\sqrt{c / m}, \quad T=2 t_{*}$, паходим
\[
t_{*}=\frac{\pi n}{2} \sqrt{\frac{m}{c}} ;
\]

ианеньше знанение $t_{*}$ солтетстует $n=1$ :
\[
t_{*}=\frac{\pi}{2} \sqrt{\frac{m}{c}}
\]
т. е. вчетверо меньше шериода свободных колеб̈аunii rpysa.
Рис. 10.2