В общем случае, когда вынуждающая сила представляет собой произвольно заданную функцию времени $Q(t)$, следует исходить из дифференциального уравнения
\[
a \ddot{q}+b \dot{q}+c q=Q(t),
\]

общее решение которого можно получить способом, которым мы пользовались в § 5 при выводе формулы (5.19).

Пусть к системе в момент $\xi$ прикладывается мгновенный импульс величины $S$. Последующий процесс представляет собой затухающие колебания, описываемые выражением (2.9). Постоянные $A$ и $\alpha$ определим из условий в начале движения, – при $t=\xi$ должно быть $q=0$ и $\dot{q}_{0}=S / a$ :
\[
A=\frac{S e^{h \xi}}{a k_{*}}, \quad \alpha=-k_{*} \xi .
\]

Таким образом, движение, вызванное однократным импульсом, описывается законом
\[
q=\frac{S e^{-h(t-\xi)}}{a k_{*}} \sin k_{*}(t-\xi) .
\]

Рассматривая вынуждающую силу как последовательность элементарных импульсов $Q(\xi) d \xi$ и интегрируя

(6.15), получим для пулевых начальных условий решение
\[
q=\frac{1}{a k_{*}} \int_{0}^{t} Q(\xi) e^{-h(t-\xi)} \sin k_{*}(t-\xi) d \xi .
\]

В некоторых случаях удобно пользоваться решением в ином виде, подобном выражению (5.20). Если функция $Q(t)$ дифференцируемая, то поступая, как в $\S 5$, получим
\[
\begin{array}{l}
q=\frac{1}{c}\left\{Q(t)-Q(0) e^{-h t}\left(\cos k_{*} t+\frac{h}{k_{*}} \sin k_{*} t\right)-\right. \\
\left.-\int_{0}^{t} \dot{Q}(\xi) e^{-h(t-\xi)}\left[\cos k_{*}(t-\xi)+\frac{h}{k_{*}} \sin k_{*}(t-\xi)\right] d \xi\right\} .
\end{array}
\]

Если же сила $Q(t)$ претерпевает конечные разрывы $\Delta Q_{1}, \Delta Q_{2}, \ldots$ в заданные моменты времени $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$, то
\[
\begin{array}{l}
q=\frac{1}{c}\{Q(t)- \\
\quad-\int_{0}^{t} \dot{Q}(\xi) e^{-h(t-\xi)}\left[\cos k_{*}(t-\xi)+\frac{h}{k_{*}} \sin k_{*}(t-\xi)\right] d \xi- \\
\left.-\sum_{i=0}^{r} \Delta Q_{i} e^{-h\left(t-\xi_{i}\right)}\left[\cos k_{*}\left(t-\xi_{i}\right)+\frac{h}{k_{*}} \sin k_{*}\left(t-\xi_{i}\right)\right]\right\} \cdot \quad \text { (6.18) }
\end{array}
\]

Пример 6.2. Найти двияение системы, вызываемое действием линейно возрастающей во времени силы, график которой
Puc. 6.4 показап на рис. 5.12, $a$, учитывая вязкое сопротивление, характеризуемое коэффициентом $h$.
В данном случае удобно воспользоваться решением в форме (6.17). Подставляя $\dot{Q}=\beta$, находим
\[
q=\frac{\beta t}{c}-\frac{\beta e^{-h t} \sin k_{*} t}{c k_{*}} .
\]

Колебания постепенно затухают и движение приближается к движепию вырожденной безмассовой системы $q=\beta t / c$ (рис. 6.4 ).