В § 13 (стр. 209) была рассмотрена предельно упрощенная модель часов – упругая система с вязким трением, автоколебательные свойства которой определяются действием мгновенных конечных импульсов, прикладываемых к системе в моменты ее прохождения через положение равновесия с положительной скоростью. Рассматриваемый здесь аттрактор Неймарка возможен применительно к упругой системе, об́ладающей противоположными свойствами – ее движение сопровождается действием непрерывной силы отрицательного вязкого трения и конечных мгновенных импульсов, направленных против движения. Импульсы прикладываются в моменты, когда система подходит к положению $q=0$ с достаточно большой положительной скоростью $\dot{q}^{-} \geqslant v(v-$ заданное значение скорости, знаки «十» и «-» й другие обозначения соответствуют сказанному в § 13).

Так как при $\dot{q}^{-}<v$ импульсы не возникают, то, после сколь угодно малого начального возмущения состояния равновесия, под действием отрицательного трения будут происходить разрастающиеся колебания, причем $\dot{q}_{\overline{n+1}}=$ $=\bar{q}_{n} e^{2 \pi h / k *}$ (здесь $h>0$ соответствует дифференциальному уравнению $\ddot{q}-2 h \dot{q}+k^{2} q=0$ для системы с отрицательным трением). Разрастание колебаний будет происходить до тех пор, пока в конце некоторого $n$-го цикла колебаний скорость $\dot{q}_{n}^{-}$достигнет значения $v$ (или превзойдет это значение). Тогда на систему воздействует импульс $S$, и скорость мгновенно уменьшится до значения
\[
\dot{q}_{n}^{+}=\dot{q}_{n}^{-}-S / a,
\]

которое окажется начальным для последующего $(n+1)$-го цикла. В конце $(n+1)$-го цикла скорость станет равной
\[
\dot{q}_{n+1}^{-}=\dot{q}_{n}^{+} e^{2 \pi h / k *} .
\]

При достаточно большом значении импульса $S$ этот результат окажется меньшим, чем $v$, т. е. вновь возникнет описанный выше процесс разрастания колебаний в отсутствие демпфирующих импульсов, который будет происходить до тех пор, пока $\dot{q}^{-}<v$. После того как будет выполнено условие $\dot{q}^{-} \geqslant v$, произойдет новое скачкообразное уменьшение скорости и.т. д. В целом можно ожидать, что установится процесс, внешне напоминающий

биения, когда этапы возрастания амплитуд чередуются с этапами их убывания. Как будет показано на численном примере, эти представления верпы, по обнаруживаемые в системе «биения» не обладают свойством периодичности.

Отметим, что в рассматриваемой системе возможен стационарный режим движения (предельный цикл), которому соответствует равенство $\dot{q}_{n+1}^{+}=\dot{q}_{n}^{+}=\dot{q}_{\text {ст }}^{+}$ Подставляя сюда найденные выше выражения, найдем
\[
\dot{q}_{\mathrm{cT}}^{+}=\frac{S}{a\left(e^{2 \pi h / k *}-1\right)} .
\]

Однако этот предельный цикл неустойчив, в чем можно убедиться, в частности, с помощью построения Кенигса-Ламерея. То же построение позволит обнаружить и странный аттрактор в рассматриваемой системе. Для этой цели будем исходить из точечного преобразования
\[
\dot{q}^{+}=\left\{\begin{array}{lr}
\dot{q}^{+} e^{2 \pi / h_{*}}-\frac{S}{a} & \text { при } \dot{q}^{-} \geqslant v, \\
\dot{q}^{+} e^{2 \pi / k *} & \text { при } \dot{q}^{-}<v,
\end{array}\right.
\]

которое показано на рис. 16.1, a. Здесь предположено, что импульс $S$ достаточно большой и точка $C$ (соответствующая неустойчивому стационарному режиму) расположена выше точки $A$, т. е. $\dot{q}_{\text {ст }}>v$. (Отметим, что при малых значениях $S$ точка $C$ может оказаться ниже точки $A$, но в этом случае странный аттрактор не существует.) На рис. 16.1, б буквой $D$ отмечено произвольно принятое начальное значение скорости $\dot{q}$ и показан первый (восходящий) марш лестницы Кенигса – Ламерея $D E$. На рис. 16.1, в показан следующий (нисходящий) марш лестницы Кенигса – Ламерея $E F$, и в общих чертах становится ясным дальнейшее развитие процесса колебаний с последовательным чередованием маршей вверх – вниз, однако подчеркнем, что такое чередование не означает установление периодического процесса и что значения $\vec{q}$ не могут быть меньше ординаты точки $B$ и больше ординаты точки $A$. Соответственно этому зона странного аттрактора определяется шестиугольником, заштрихованным на рис. $16.1,2$, а область его притяжения располагается в промежутке значений $0 \leq \dot{q}<\dot{q}_{\text {ст }}$. Если движение

системы начинается вне отмеченной зоны притяжения, когда начальная скорость превосходит значение $\dot{q}_{\text {ст }}$, то ступени лестницы Кенигса – Ламерея будут неограниченно уходить вправо вверх.

Иллюстрируем сказанное прямыми вычислениями для случая, когда $h / k_{*}=0,01517, v=2 \mathbf{m} / \mathbf{c}, S / a=0,21 \mathrm{~m} / \mathrm{c}$.
Рис. 16.1

При этих данных координаты точек, лежащих в зоне странного аттрактора, находятся в пределах от $1,79 \mathrm{~m} / \mathrm{c}$ (уровень нижней границы зоны) до $2 \mathrm{~m} / \mathrm{c}$ (уровень верхней границы зоны); теми же числовыми пределами ограничены значения абсцисс названных точек. Точка $C$, определяющая неустойчивый предельный цикл, расположена относительно близко к зоне странного аттрактора, обе ее координаты равны $2,1 \mathrm{~m} / \mathrm{c}$. В качестве начального значения скорости $\dot{q}_{0}^{+}$принято $1,6 \mathrm{~m} / \mathrm{c}$. В таблице приводятся результаты вычислений пятидесяти последовательных значений скорости $\overline{\dot{q}}^{+}$. Хотя вычисления выполнялись с точностью до десяти знаков после запятой, для эконо-

мии места в таблицу внесены значения $\overline{\dot{q}}^{+}$после округления до трех знаков после запятой. Из-за этого значения при $n=2,3, \ldots, 7$ выглядят совпадающими со значениями при $n=36,37, \ldots, 41$. В действительности этого совпадения нет. (Подробнее об этом см. вп. 4.) Углубленное изучение этого аттрактора показывает, что при $t \rightarrow \infty$ марши лестницы Кенигса – Јамерея плотно заполняют всю заштрихованную на рис. 16.1, г зону.

Фазовую диаграмму рассматриваемой системы можно представить себе, если взять за основу изображенную на рис. $13.4, a$ фазовую диаграмму автоколебательной системы и заменить здесь линию $A_{1}$ (устойчивый предельный цикл) кольцевой зоной конечной толщины.

Прежде всего отметим, что начало координат на фазовой плоскости – неустойчивый фокус. Главная отличительная особенность фазовой диаграммы – упомянутая кольцевая зона, которая и является странным аттрактором. Наконец, существенным элементом фазовой диаграммы является неустойчивый предельный цикл – замкнутая линия, окружающая в некотором поколении зону странного аттрактора (см. кривую $A_{2}$ на рис. 13.4,a) и служащая границей области притяжения к странному аттрактору. Фазовые траектории, начинающиеся внутри этой области, не только притягиваются к странному аттрактору, но, можно сказать, «втягиваются» в него. Оказавшись внутри зоны странного аттрактора, изображающая точка не выходит из нее и далее совершает здесь хаотическое движение. Если после достаточно большого возмущения начальная изображающая точка оказалась за 16 Я, г, Пановко

пределами названной области притяжения, то фазовая траектория будет раскручиваться, все больше удаляясь от границы области.

При малой толщине кольцевой зоны (и соответственно малых размерах шестиугольника на рис. 16.1 ; ) свойства системы будут близки к свойствам «обычной» автоколебательной системы, которой соответствует рис. 13.4, a.