Обратимся теперь к решению основного дифференциального уравнения (5.6) и начнем со случая, когда обобщенная
Рис. 5.4
вынуждающая сила изменяется по гармоническому закону. Такова, например, переменная сила, передаваемая на фундамент машиной с неуравновешенным ротором (рис. 5.4). При надлежащем выборе начала отсчета времени этот закон можно записать в виде
\[
Q=H \sin \omega t,
\]

где $H$ и $\omega$-амплитуда и частота вынуждающей силы. Следует иметь в виду, что во многих случаях (к ним относится и показанный на рис. 5.4) амплитуда вынуждающей силы связана с ее частотой. Решение дифференциального уравнения
\[
\ddot{q}+k^{2} q=\frac{H}{a} \sin \omega t
\]

состоит из двух частей: 1) решения однородного уравнения $\ddot{q}+k^{2} q=0$, а именно: $C_{1} \sin k t+C_{2} \cos k t$; 2) частного решения уравнения (5.13), которое при $\omega
eq k$ следует искать в виде $A \sin \omega t$. Подставив это выражение в (5.13), найдем, что $A=\frac{H}{a\left(k^{2}-\omega^{2}\right)} \sin \omega t$. Таким образом, решение уравнения (5.13) при произвольных натальных условиях имеет вид
\[
q=C_{1} \sin k t+C_{2} \cos k t+\frac{H}{a\left(k^{2}-\omega^{2}\right)} \sin \omega t .
\]

В случае нулевых начальных условий, полагая $q(0)=0$, $\dot{q}(0)=0$, получаем
\[
C_{1}=-\frac{\omega H}{a k\left(k^{2}-\omega^{2}\right)}, \quad C_{2}=0 .
\]

Следовательно,
\[
q=\frac{H}{a\left(k^{2}-\omega^{2}\right)}\left(\sin \omega t-\frac{\omega}{k} \sin k t\right) .
\]

Полученное решение представляет разность двух гармонических составляющих с различными частотами. В действительности этот процесс можно наблюдать лишь в самом начале, так как неучтенные при составлении уравнения силы трения вызывают постепенное затухание колебаний с собственной частотой $k$ (см. ниже § 6). Поэтому по истечении некоторого времени колебания становятся практически моногармоническими с частотой $\omega$.

Если частоты $\omega$ и $k$ близки между собой, то возникнут биения, как и всегда при сложении двух гармонических колебаний (см. § 4, рис. 4.5); однако и в этом случае с течением времени и постепенным исчезновением одной из гармоник (с частотой $k$ ) движение будет все больше приближаться к моногармоническому с частотой $\omega$.

Таким образом, наиболее существенная, стационарная часть процесса (установившиеся вынужденные колебания) описывается первым членом выражения (5.14)
\[
q=\frac{H}{a\left(k^{2}-\omega^{2}\right)} \sin \omega t .
\]

Амплитуда этих колебаний, происходящих с частотой $\omega$, определяется выражением
\[
A=\frac{H}{a\left|k^{2}-\omega^{2}\right|}=\frac{H}{\left|c-a \omega^{2}\right|},
\]

знаменатель которого (динамическая жесткость) характеризует эффективную жесткость системы при гармоническом возбуждении. Выражение $1 /\left|c-a \omega^{2}\right|$ определяет амплитуду вынужденных колебаний при единичной амплитуде вынуждающей силы (амплитудно-частотная характеристика, для обозначения которой в технической литературе пользуются аббревиатурой АЧХ).
Выражению (5.16) можно придать вид

Здесь
\[
A=\mu q_{\mathrm{cr}} \text {. }
\]
\[
\mu=\frac{1}{\left|1-\omega^{2} / \tilde{k}^{2}\right|}
\]
– коэффициент динамичности, показывающий, во сколь-

ко раз амплитуда установившихся вынужденных колебаний больше перемещения $q_{\text {ст }}=H / c$, вызываемого статически приложенной силой $H$. Для случая, когда $H$ не зависит от $\omega$, зависимость коэффициента динамичности от отношения частот $\omega / k$ представлена графиком на рис. 5.5 («резонансная кривая»).

Как видно, с возрастанием частоты $\omega$ от нуля коэффициент динамичности увеличивается и при $\omega / k \rightarrow 1$ стремится к бесконечности. При дальнейшем возрастании
Рис. 5.5
Рис. 5.6

частоты коэффициент динамичности постепенно убывает и при $\omega / k>\sqrt{2}$ становится меньшим единицы; в этой области динамический эффект вынуждающей силы слабее, чем при ее статическом действии. Этим свойством часто пользуются в технике, а именно, для уменьшения колебаний объектов, подверженных действию гармонических вынуждающих сил, уменьшают жесткость упругих связей; при этом собственная частота уменьшается, а вместе с тем возрастает отношение $\omega / k$. Нужно отметить, что согласно (5.15) шри $\omega / k<1$ перемещения находятся в фазе с вынуждающей силой, а при $\omega / k>1$ – в противофазе.

Если $H=K \omega^{2}$, где $K$ – постоянная (например, в машинах с неуравновешенными роторами $K=M r$, где $M$ масса ротора, $r$-эксцентриситет центра тяжести, см. рис. 5.4), то согласно формуле (5.16) амплитуда колебаний следующим образом связана с отношением частот $\omega / k$ :
\[
A=\frac{K}{a \cdot\left|1-k^{2} / \omega^{2}\right|} \text {. }
\]

Соответствующая резонансная кривая показана на рис. 5.6. В отличие от резонансной кривой на рис. 5.5 при неограниченном возрастании частоты $\omega$ амплитуда колебаний стремится не к нулю, а к значению $K / a$.

Особое состояние системы при $\omega=k$ называется резонансом; для этого состояния решением (5.14) пользоваться нельзя, так как оно было получено в предположении, что $\omega
eq k$. В резонансном случае вместо (5.13) нужно исходить из дифференциального уравнения
\[
\ddot{q}+k^{2} q=\frac{H}{a} \sin k t
\]

решение которого при нулевых начальных условиях имеет вид
\[
q=-\frac{H}{2 c}[k t \cos k t-\sin k t] .
\]

Здесь нужно обратить внимание на появление члена $k t \cos k t$, содержащего время вне знака косинуса, т. е. неограниченно возрастающего во времени; этот член называется резонансным (вековым). Ниже, в § 6, будет установлено, что силы трения ограничивают это возрастание, так что амплитуда колебаний остается конечной и при $t \rightarrow \infty$.
Пример 5.2. Вдоль пути синусоидального профиля
\[
y_{0}=A_{0} \sin \frac{\pi x}{l}
\]
(рис. 5.7) с постоянной горизонтальной скоростью $v$ движется упруго подвешенный груз массы $m$. Определить наибольшее допустимое значение коэффициента жесткости подвески $c$, если требуется, чтобы амплитуда абсолютных колебаний груза не превосходила $0,05 A_{0}$.

Подставив в (а) $x=$ $=v t, \quad$ вайдем ординаты нижнего конда пружины в функции времени:
\[
y_{0}=A_{0} \sin \frac{\pi v t}{l} .
\]

Pис. 5.7
Обозначив через $y$ абсолютное вертикальное перемещение груза, отсчитываемое от равновесного уравнения, имеем дифференциальное уравнение $-c\left(y-y_{0}\right)=m \ddot{y}$, или
\[
\ddot{m}+c y=c y_{0} \text {. }
\]
Отсюда видно, что эквивалентная вынуждающая сила составляет $P=c A_{0} \sin (\pi v t / l)$, т. e. ее амплитуда равна $c A_{0}$. Соответственно выражению (5.16) находим амплитуду абсолютных колебаний груза:
\[
\frac{A_{0}}{\left|1-\left(\frac{\omega}{k}\right)^{2}\right|}=\frac{A_{0}}{\left|1-\frac{\pi^{2} v^{2} m}{c l^{2}}\right|},
\]

которая по условиям задачи не должна превосходить значения $0,05 A_{0 .}$ Следовательно,
\[
\frac{1}{\frac{m \pi^{2} v^{2}}{c l^{2}}-1}<0,05,
\]
T. $\boldsymbol{\theta}$.
\[
c<\frac{0,47 m v^{2}}{l} .
\]

Пример 5.3. Для условий предыдущего примера определить допустимые значения коэффициента жесткости $c$, если требуется, чтобы дополнительное усилие в подвеске не превосходило $5 \%$ статического значения усилия $m g$.

При прежних обозначениях наибольшая динамическая деформация подвески равна $A-A_{0}$, а наибольшее дополнительное усиление в подвеске составляет
\[
c\left(A-A_{0}\right)=\frac{c A_{0}}{\left|k^{2} / \omega^{2}-1\right|} .
\]

По условию должно быть
\[
\frac{c A_{0}}{\left|k^{2} / \omega^{2}-1\right|}<0,05 \mathrm{mg},
\]

где $\omega=\pi v / l$. Отсюда находим, что коэффициент жесткости должен быть либо достаточно малым, удовлетворяющим неравенству
\[
c<\frac{m \omega^{2}}{1+20 A_{0} \omega^{2} / g},
\]
(при любых значениях безразмерной дроби $20 A_{0} \omega^{2} / g$ ), либо достаточно большим, удовлетворяющим неравенству
\[
c>\frac{m \omega^{2}}{1-20 A_{0} \omega^{2} / g}
\]
(при 20 $A_{0} \omega^{2} / g<1$ ).