Рассмотрим маятник с вертикально колеблющейся точкой подвеса (см. рис. 9.2,a), движение которой задано законом
\[
y=A \sin \omega t .
\]

В главе III мы исследовали малые колебания такого маятника около положения равновесия; в частности, отмечалось, что в этой системе нижнее положение равновесия может оказаться неустойчивым, а верхнее положение – устойчивым.

Здесь мы не будем заниматься изучением малых колебаний, а исследуем возможность непрерывного вращения маятника, поддерживаемого колебаниями оси. Вращение со средней угловой скоростью $\omega$, равной частоте колебаний оси, и представляет явление синхронизации в рассматриваемой системе: возмущающее воздействие (колебания оси) «навязывает» свой ритм движению системы.

Таким образом, предполагаемый стационарный синхронизированный режим описывается законом
\[
\varphi=\omega t-\alpha,
\]

где $\varphi$ – угол отклонения маятника, $\alpha$ – начальный сдвиг фаз.

Обратимся к составлению дифференциального уравнения относительного движения, а затем с помощью этого уравнения выясним, возможен ли режим движения (15.8). В уравнение моментов относительно колеблющейся оси введем момент силы тяжести $-m g l \sin \varphi$ и момент линейного трения $-\dot{b} \dot{\varphi}$. Кроме того, в уравнение моментов следует ввести также момент переносной силы инерции. Эта сила и является причиной синхронизации; она направлена по вертикали, и ее проекция на ось $y$ равна
\[
-m \ddot{y}=m A \omega^{2} \sin \omega t .
\]

Момент переносной силы инерции относительно оси маятника составляет $m A \omega^{2} l \sin \varphi \sin \omega t$. Таким образом, дифференциальное уравнение относительного движения

маятника запишется в виде
\[
m l^{2} \ddot{\varphi}=-m g l \sin \varphi-b \dot{\varphi}+m A \omega^{2} l \sin \varphi \sin \omega t .
\]

Для проверки возможности синхронизированного вращения маятника попробуем подставить (15.8) в дифференциальное уравнение (15.9):
\[
m l \sin (\omega t-\alpha)\left(A \omega^{2} \sin \omega t-g\right)=b \omega .
\]

Так как здесь левая часть переменна, а правая часть постоянна, то полученное соотношение тождественно не удовлетворяется. Это означает, что функция (15.8) не является точным решением дифференциального уравнения (15.9), т. е. что равномерное вращение маятника невозможно.

Однако можно принять (15.8) в качестве приближенного решения задачи и, отказавшись от требования о тождественном выполнении равенства (15.9), ограничиться более слабым требованием о выполнении его в среднем. Именно в этом можно видеть применение той же идеи, которая лежит в основе метода медленно меняющихся амплитуд. Найдя среднее значение левой часть II соотношения (15.10)
\[
\frac{m l \omega}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi / \omega} \sin (\omega t-\alpha)\left(A \omega^{2} \sin \omega t-g\right) d t=\frac{m l A \omega^{2}}{2} \cos \alpha,
\]

приравняем его правой части того же соотношения. После этого получим
\[
\cos \alpha=\frac{2 b}{m l A \omega} .
\]

Выражение (15.11) позволяет найти сдвиг фаз; но еще более важно, что из этого выражения следует условие синхронизации (захватывания)
\[
\frac{2 b}{m l A \omega}<1 \text {. }
\]

Как видно, чем больше дебаланс маятника $m l$ и максимальная скорость $A \omega$ колебаний оси маятника, тем легче осуществляется синхронизация. Важный фактор, который может воспрепятствовать синхронизации,- это трение в системе, характеризуемое коэффициентом $b$; чем больше трение, тем труднее достигается синхронизация.