При наличии вязкого трения вместо дифференциального уравнения (10.1) имеем
\[
\ddot{q}+2 \dot{h} \dot{q}+k_{0}^{2}(1 \pm \mu) q=0,
\]

в котором по-прежнему $h=\frac{b}{2 a}$, где $b$-коэффициент вязкости, $a$ – инерционный коэффициент. Рассуждая, как II в п. 1, запишем решение для обоих полупериодов:
\[
\begin{array}{l}
q_{1}=C_{1} e^{-h t} \sin k_{1}^{*} t-D_{1} e^{-h t} \cos k_{1}^{*} t, \\
q_{2}=C_{2} e^{-h t} \sin k_{2}^{*} t+D_{2} e^{-h t} \cos k_{2}^{*} t,
\end{array}
\]
*) При действии нелинейно-вязких сил треппя амплитуды колебаний оказываются ограниченными.

где
\[
\begin{array}{l}
k_{1}^{*}=\sqrt{k_{1}^{2}-h^{2}}=\sqrt{(1+\mu) k_{0}^{2}-h^{2}}, \\
k_{2}^{*}=\sqrt{k_{2}^{2}-h^{2}}=\sqrt{(1-\mu) k_{0}^{2}-h^{2}} .
\end{array}
\]

Условия в момент $t=T / 2$ имеют вид
\[
q_{1}\left(\frac{T}{2}\right)=q_{2}\left(\frac{T}{2}\right), \quad \dot{q}_{1}\left(\frac{T}{2}\right)=\dot{q}_{2}\left(\frac{T}{2}\right),
\]

или
\[
\begin{array}{c}
C_{1} \sin \frac{k_{1}^{*} T}{2}+D_{1} \cos \frac{k_{1}^{*} T}{2}=C_{2} \sin \frac{k_{2}^{*} T}{2}+D_{2} \cos \frac{k_{2}^{*} T}{2}, \quad(10.15) \\
C_{1}\left(-h \sin \frac{k_{1}^{*} T}{2}+k_{2}^{*} \cos \frac{k_{1}^{*} T}{2}\right)-D_{1}\left(h \cos \frac{k_{2}^{*} T}{2}+\right. \\
\left.+k_{1}^{*} \sin \frac{k_{2}^{*} T}{2}\right)=C_{2}\left(-h \sin \frac{k_{2}^{*} T}{2}+k_{2}^{*} \cos \frac{k_{2}^{*} T}{2}\right)- \\
-D_{2}\left(h \cos \frac{k_{2}^{*} T}{2}+k_{2}^{*} \sin \frac{k_{2}^{*} T}{2}\right) .
\end{array}
\]

Далее составляем два условия типа (10.7):
\[
\lambda q_{1}(0)=q_{2}(T), \lambda \dot{q}_{1}(0)=\dot{q}_{2}(T),
\]
т. е.
\[
\begin{aligned}
\lambda D_{1} & =e^{-h T}\left(C_{2} \sin k_{2}^{*} T+D_{2} \cos k_{2}^{*} T\right), \\
\lambda\left(C_{1} k_{1}^{*}-D_{1} h\right) & =e^{-h T}\left[C_{2}\left(-h \sin k_{2}^{*} T+k_{2}^{*} \cos k_{2}^{*} T\right)-\right. \\
& \left.-D_{2}\left(h \cos k_{2}^{*} T+k_{2}^{*} \sin k_{2}^{*} T\right)\right] .
\end{aligned}
\]

Четыре уравнения (10.15) и (10.16) образуют систему, однородную относительно постоянных $C_{1}, D_{1}, C_{2}, D_{2}$; отличные от нуля репения соответствуют случаю, когда равен нулю определитель, составленный из коэффициентов системы, развернув который, придем, аналогично (10.9), к квадратному уравнению
\[
\lambda^{2}-2 A_{1} \lambda+B_{1}=0 .
\]

В каждом конкретном случае по заданным значениям $k_{0}, \mu, h, T$ можно вычислить значения $A_{1}$ и $B_{1}$, а затем определить корни $\lambda_{1}$ и $\lambda_{2}$ квадратного уравнения (10.17). Признаком неустойчивости служит вещественность кор-

ней п неравенство $|\lambda|>1$ для напоольшего по модулю корня.

Не останавливаясь на подобном исследовании корней, заметим, что для их вещественности (т. е. для неустойчивости системы) необходимо выполнение условия
\[
\left|A_{1}\right|>\sqrt{B_{1}}
\]

более жесткого, чем условие $|A|>1$, полученное выше для случая отсутствия трения. В частности, при $h>0$ II $\mu \rightarrow 0$ условие (10.18) не выполняется, т. е. параметрический резонанс невозможен. Это означает, что для возникновения параметрического резонанса необходима некоторая, достаточно большая, глубина пульсации $\mu$. В целом трение оказывает стабилизирующие действие и приводит к некоторому сужению областей неустойчивости.