Главная > Введение в теорию механических колебаний (Я.Г. Пановко)
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

В обоих рассмотренных в п. 3 примерах характериститеское уравнение оказалось биквадратным и найти его корни было легко. В более сложных случаях, например для полного уравнения четвертой степени, определение корней оказывается гораздо более трудноӥ задачей. Одиако для суюдения о знаках веществениых частеї корней нет необходимости решать характеристическое уравнение,Раус и Гурвиц указали условия, которым должны удовлетворять коэффицненты характеристического уравнешия, для того чтобы вещественные части всех корней были отрицательными; прпведем условпя Рауса – Гурвпца без вывода.

Пусть характеристическое уравненше записано в виде
\[
b_{0} \lambda^{n}+b_{1} \lambda^{n-1}+b_{2} \lambda^{n-2}+\ldots+b_{n}=0 ;
\]

для того, чтобы среди его корней не было ни одного с положптельной вещественной частью, необ́ходимо п достаточно выполненпе неравенств
\[
\begin{array}{c}
b_{0}>0, \quad b_{1}>0,\left|\begin{array}{lll}
b_{1} & b_{3} \\
b_{0} & b_{2}
\end{array}\right|>0, \ldots \\
\left|\begin{array}{ccccc}
b_{1} & b_{3} & b_{5} & \ldots & 0 \\
b_{0} & b_{2} & b_{4} & \ldots & 0 \\
0 & b_{1} & b_{3} & \ldots & 0 \\
0 & b_{0} & b_{2} & \ldots & 0 \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots & . \\
\cdots & \cdots & \cdots & . & b_{n}
\end{array}\right|>0 .
\end{array}
\]

В частности, для характериститеского уравнения третьей стелени условия Рауса – Гурнцца имеют вид
\[
\begin{array}{cl}
b_{0}>0, & b_{1}>0, \quad b_{2}>0, \quad b_{3}>0, \\
& b_{1} b_{2}-b_{0} b_{3}>0,
\end{array}
\]

а для уравнения тетвертой степени — вид
\[
\begin{array}{c}
b_{0}>0, \quad b_{1}>0, \quad b_{2}>0, \quad b_{3}>0, \quad b_{4}>0, \\
b_{1} b_{2} b_{3}-b_{0} b_{3}^{2}-b_{1}^{2} b_{4}>0 .
\end{array}
\]

В качестве примера рассмотрим плоскую систему типа двойного маятника (рис. 12.7) с вязкоупругими шарнирами в точках 0 и 1. Массу системы будем ститать сосредоточенной в точках 1 п 2 . В точке 2 на систему действует «следящая» спла $P$, направление которой совпадает с осью стержня $1-2$ при любых отклонениях системы. Обозначим: $b$ и $c$-коэффициенты вязкости и жесткости шарниров, $m_{1}=2 m$ и $m_{2}=m$ – массы, сосредоточенные в тотках 1 и 2 , $l$-длина каждого из стерж-

Pnc. 12.7 чей, $\varphi_{1}$ и $\varphi_{2}$ – углы отклонения стержней от положения равновесия, принимаемые за обобщенные координаты. Силы тяжести для упроцения задачи учитывать не будем.

В данном случае условия Рауса – Гурвица (12.12) приводят к следующим неравенствам:
1) $b>0$;
2) $P<\frac{45}{14} \frac{c}{l}+\frac{1}{2} \frac{b}{m l^{3}}$
3) $P<\frac{41}{28} \frac{c}{l}+\frac{1}{2} \frac{b}{m l^{3}}$;
4) $c^{2}>0$.

Первое и четвертое неравенства выполняются автоматически, а из двух остальных неравенств более жестким является третье. Оно позволяет найти критическое значение силы
\[
P_{\mathrm{rp}}=\frac{41}{28} \frac{c}{l}+\frac{1}{2} \frac{b}{m l^{3}}
\]

и если $b=0$, то $P_{\text {кр }}=1,464 \mathrm{c} / \mathrm{l}$.
В заключение отметим, что если бы в данной задаче с самого начала положить $b=0$, и определять критическую силу подобно тому, как это было сделано в п. 3 (из анализа биквадратного уравнения), то для критической силы получится иное (неверное) значение
\[
P_{\text {нр }}=2,086 \frac{c}{l} .
\]

Это несоответствие составляет содержание так называемого парадокса Циглера, на обсуждение которого мы здесь останавливаться не будем.

Categories

1
Оглавление
email@scask.ru