В случаях, когда вынуждающие силы изменяются не по гармоническому закону, целесообразен переход к нормальным (главным) координатам. При этом вместо системы дифференциальных уравнений (8.2) или систем (8.3) и (8.4) получается система независпмых дифференциальных уравнений
\[
\ddot{\eta}_{j}+k_{j}^{2} \eta_{j}=Q_{j}^{*} \quad(j=1,2, \ldots, s),
\]

в которой $\eta_{j}$ – нормальные координаты, $k_{j}$– собственные частоты, $Q_{j}^{*}$ – приведенные обобщенные силы. После того как образована система (8.18), дальнейшее решенне сводится к исследованию колебаний ряда независимых снстем с одной степенью свободы (см. п. 4 § 5).

Пусть обобщенные координаты первоначально приняты такнм образом, что исходная система дифферешцильных уравнений записывается в виде (8.3). Для требуемого перехода к системе (8.18) нужно предварительно найти собственные частоты $k_{i}$ п коәффициенты собственных форм $\chi_{r i}$. Далее положим
\[
q_{r}=\sum_{i=1}^{s} x_{r i} \eta_{i} .
\]

Тогда (8.3) запишется в виде.
\[
a_{j} \sum_{i=1}^{s} x_{j i} \eta_{i}+\sum_{r=1}^{s} c_{j r} \sum_{i=1}^{s} x_{r i} \eta_{i}=Q_{j} .
\]

Изменим порядок суммирования во втором слагаемом:
\[
\sum_{r=1}^{s} c_{j r} \sum_{i=1}^{s} x_{r i} \eta_{i}=\sum_{i=1}^{s} \eta_{i} \sum_{r=1}^{s} c_{j r} x_{r i},
\]

и заметим, что входящая сюда сумма по $r$ согласно (4.46) равна
\[
\sum_{r=1}^{s} c_{j r} \varkappa_{r i}=a_{j} k_{i}^{2} \varkappa_{j i}
\]

Теперь уравнения (8.20) принимают вид
\[
a_{j} \sum_{i=1}^{s} x_{j i}\left(\ddot{\eta_{i}}+k_{i}^{2} \eta_{i}\right)=Q_{j} .
\]

Умножим каждое из этих равенств на $x_{j m}$ и затем сложим их:
\[
\sum_{j=1}^{s} x_{j m} a_{j} \sum_{i=1}^{s} x_{j i}\left(\ddot{\eta}+k_{i} \eta_{i}\right)=\sum_{j=1}^{s} Q_{j} x_{j m},
\]

или
\[
\sum_{i=1}^{s}\left(\ddot{\eta_{i}}+k_{i}^{2} \eta_{i}\right) \sum_{j=1}^{s} a_{j} x_{j i} x_{j m}=\sum_{j=1}^{s} Q_{j} x_{j m} .
\]

Согласно свойству ортогональности собственных функций (4.65) равны нулю все входящие в левую тасть суммы по $j$, кроме той, в которой индекс $i$ совпадает с индексом $m$. Поэтому (8.22) можно записать в виде
\[
\left(\ddot{\eta}_{m}+k_{m}^{2} \eta_{m}\right) \sum_{j=1}^{s} a_{j} x_{j m}^{2}=\sum_{j=1}^{s} Q_{j} x_{j m} .
\]

Окончательно получаем дифференцальные уравнения в нормальных координатах
\[
\ddot{\eta}_{m}+k_{m}^{2} \eta_{m}=Q_{m}^{*}(m=1,2, \ldots s),
\]

где
\[
Q_{m}^{*}=\frac{\sum_{j=1}^{s} Q_{j} x_{j m}}{\sum_{j=1}^{s} a_{j} x_{j m}^{2}} \quad(m=1,2, \ldots, s)
\]

есть приведенные вынуждающие силы.
Если обобщенные коордпнаты были выбраны так, что псходные дифференциальные уравнения записываются в виде (8.4), то аналогично можно прийти к (8.23),

причем
\[
Q_{m}^{*}=\frac{k_{m}^{2} \sum_{j=1}^{s} Q_{j} x_{j m}}{\sum_{j=1}^{s} c_{j} x_{j m}^{2}} .
\]

Таким образом, составлению уравнений (8.21) должно предшествовать ошределение собственных форм, т. е. коэффициентов $x_{j m}$, и собственных частот $k_{m}$; затем образуются выражения (8.24) или (8.25), и задача сводится $к$ интегрированию независимых уравнений (8.23), каждое из которых описывает движение некоторой системы с одной степенью свободы. После интегрирования этих уравнений можно получить выражения для первоначально выбранных обобщенных координат $q_{r}$ с помощью соотношений (8.19).

Пример 8.3. На левый груз рассмотренной ранее системы с двумя степенями свободы (рис. 8.1) действует вынуядающая сила
\[
Q_{1}=H_{1}\left(1-e^{-\alpha t}\right)
\]
( $H_{1}$ и $\alpha$– заданные постоянные). Найти движение системы.
Для этой системы при $c_{1}=c_{2}=c, m_{1}=m_{2}=m$ в \& 4 было найдено
\[
\begin{aligned}
k_{1}^{2} & =0,382 \frac{c}{m}, & k_{2}^{2} & =2,618 \frac{c}{m}, \\
x_{21} & =1,618, & x_{22} & =-0,618 .
\end{aligned}
\]

По формуле (8.24) находим приведенные выџуждающие силы:
\[
\begin{array}{l}
Q_{1}^{*}=\frac{Q_{1}}{m+m \cdot 1,618^{2}}=\frac{0,278 H_{1}}{m}\left(1-e^{-\alpha t}\right), \\
Q_{2}^{*}=\frac{Q_{1}}{m+m \cdot 0,618^{2}}=\frac{0,727 H_{1}}{m}\left(1-e^{-\alpha t}\right) .
\end{array}
\]

Тешерь образуем оба уравнения (8.23):
\[
\begin{array}{l}
\ddot{\eta}_{1}+0,382 \frac{c}{m} \eta_{1}=\frac{0,278 H_{1}}{m}\left(1-e^{-\alpha t}\right), \\
\ddot{\eta}_{2}+2,618 \frac{c}{m} \eta_{2}=\frac{0,727 H_{1}}{m}\left(1-e^{-\alpha t}\right) .
\end{array}
\]

Решение этих уравнений находим с помощью выражения (5.19):
\[
\begin{array}{l}
\eta_{1}=\frac{0,278 H_{1}}{c}\left[1-\frac{1}{1+\beta_{1}^{2}} e^{-\alpha t}-\frac{\beta_{1}}{1+\beta_{1}^{2}}\left(\sin k_{1} t+\beta_{1} \cos k_{1} t\right)\right], \\
\eta_{2}=\frac{0,222 H_{1}}{c}\left[1-\frac{1}{1+\beta_{2}^{2}} e^{-\alpha t}-\frac{\beta_{2}}{1+\beta_{2}^{2}}\left(\sin k_{2} t+\beta_{2} \cos k_{2} t\right)\right] .
\end{array}
\]

Здесь $\beta_{1}=\alpha / k_{1}, \beta_{2}=\alpha / k_{2}$. Наконец, согласно (8.19) находим
\[
\begin{aligned}
x_{1}= & \eta_{1}+\eta_{2}=\frac{H_{1}}{c}\left[1-\left(\frac{0,278}{1+\beta_{1}^{2}}+\frac{0,722}{1+\beta_{2}^{2}}\right) e^{-\alpha t}-\right. \\
& \left.-\frac{0,278}{1+\beta_{1}^{2}}\left(\sin k_{1} t+\beta_{1} \cos k_{1} t\right)-\frac{0,722 \beta_{2}}{1+\beta_{2}^{2}}\left(\sin k_{2} t+\beta_{2} \cos k_{2} t\right)\right], \\
x_{2}= & x_{21} \eta_{1}+x_{22} \eta_{2}=\frac{H_{1}}{c}\left[0,312-\left(\frac{0,449}{1+\beta_{1}^{2}}-\frac{0,137}{1+\beta_{2}^{2}}\right) e^{-\alpha t}-\right. \\
& \left.-\frac{0,449}{1+\beta_{1}^{2}}\left(\sin k_{1} t+\beta_{1} \cos k_{1} t\right)+\frac{0,137}{1+\beta_{2}^{2}}\left(\sin k_{2} t+\beta_{2} \cos k_{2} t\right)\right] .
\end{aligned}
\]